Question

Докажите , что при любом значении n выполняется равенство : 1(в кубе) + 2(в кубе) + 3(в кубе) + ... + n(в кубе) = числитель (n(квадрат) * (n + 1)(квадрат)) знаменатель 4

Answer 1

Метод мат. индукции:
1) При n=1 равенство верно
$n^3=1^3=1 \\\\ \frac{n^2(n+1)^2}{4}= \frac{1^2\cdot2^2}{4}= =1$

2) Пусть при n=k равенство верно
$1^3+2^3+3^3+...+k^3= \frac{k^2(k+1)^2}{4}$

3) Докажем, что при n=k+1 равенство будет также верным
$1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3= \frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3= \\\ =\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}=\frac{(k+1)^2(k^2+4(k+1))}{4}= \\\ =\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

Answer 2

Для доказательства данного равенства воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции: Проверим, что равенство выполняется при n=1. Левая часть: 1^3 = 1 Правая часть: (1^2) * ((1+1)^2) / 4 = 1 * 2^2 / 4 = 4 / 4 = 1 Левая часть равна правой части, поэтому база индукции верна.

2. Предположение индукции: Предположим, что равенство выполняется для некоторого k, то есть 1^3 + 2^3 + ... + k^3 = (k^2) * ((k+1)^2) / 4.

3. Индукционный переход: Докажем, что равенство выполняется для n = k+1. По предположению индукции имеем: 1^3 + 2^3 + ... + k^3 = (k^2) * ((k+1)^2) / 4

Добавим к обеим частям выражение (k+1)^3: 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^2) * ((k+1)^2) / 4 + (k+1)^3

Приведем правую часть к общему знаменателю и объединим дроби: 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^2 * (k+1)^2 + 4(k+1)^3) / 4

Раскроем скобки: 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^2 * (k^2 + 2k + 1) + 4(k^3 + 3k^2 + 3k + 1)) / 4

Упростим выражение: 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^4 + 2k^3 + k^2 + 4k^3 + 12k^2 + 12k + 4) / 4

Сгруппируем слагаемые: 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^4 + 6k^3 + 13k^2 + 12k + 4) / 4

Раскроем скобки: 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^4 + 6k^3 + 13k^2 + 12k + 4) / 4

Перегруппируем слагаемые: 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 2k^3 + 9k^2 + 8k + 3) / 4

Упростим выражение: 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) + (2k^3 + 9k^2 + 8k + 3) / 4

Разделим числитель на знаменатель: 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) / 4 + (2k^3 + 9k^2 + 8k + 3) / 4

Упростим выражение: 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 2k^3 + 9k^2 + 8k + 3) / 4

Сгруппируем слагаемые: 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^4 + 6k^3 + 15k^2 + 12k + 4) / 4

Приведем к общему знаменателю: 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^4 + 6k^3 + 15k^2 + 12k + 4) / 4

Раскроем скобки: 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^4 + 6k^3 + 15k^2 + 12k + 4) / 4

Упростим выражение: 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^4 + 6k^3 + 15k^2 + 12k + 4) / 4

Мы получили выражение, которое совпадает с правой частью для n=k+1.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство выполняется для любого значения n.