Question

Решить неравенство:log по основанию 0,5 (4-x)>log по основ0,5 2-log0,5(x-1)

Answer 1

Если основание у логарифма меньше единицы, то знак меняется на противоположный. Для простоты записи (но у тетради нужно писать полностью) я не буду писать основание 0,5, а буду его подразумевать. Напомним, одно свойство:
LOGaB-LOGaC=LOGa(B/C)
LOG(4-x)>LOG(2/(x-1))
У логарифмов одинаковые основания - уйдёт от логарифмов не забывая, что знак меняется, так как основание меньше единицы.
4-x<2/(x-1)
(4-x)(x-1)<2
4x-4-x²+x-2<0
-x²+5x-6<0
-x²+5x-6=0
D=25-24=1
x1=(-5+1)/-2=2
x2=(-5-1)/-2=3
Наша функция-парабола. При х²-отрицательный коэффициент "-1", поэтому её ветки направлены вниз. Нам нужна та часть, где она меньше нуля, т.е. ответ: (-∞;2)(3;+∞).

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы будем использовать свойства логарифма:

1. Свойство логарифма: log(a*b) = log(a) + log(b) 2. Свойство логарифма: log(a/b) = log(a) - log(b) 3. Свойство логарифма: log(a^n) = n*log(a)

Исходное неравенство: log(0,5) (4-x) > log(0,5) 2 - log(0,5) (x-1)

Применим первое свойство логарифма к левой и правой части неравенства:

log(0,5) (4-x) > log(0,5) 2 + log(0,5) (1/x-1)

Применим второе свойство логарифма к правой части неравенства:

log(0,5) (4-x) > log(0,5) (2 * 1/(x-1))

Применим третье свойство логарифма к правой части неравенства:

log(0,5) (4-x) > log(0,5) (2 / (x-1)^1)

Теперь обе части неравенства имеют одинаковое основание логарифма, поэтому мы можем сократить его:

4 - x > 2 / (x-1)^1

Домножим обе части неравенства на (x-1)^1, чтобы избавиться от знаменателя:

(4 - x) * (x-1)^1 > 2

Раскроем скобки:

4(x-1) - x(x-1) > 2

4x - 4 - x^2 + x > 2

Упростим:

4x - x^2 - 2x + 2 - 4 > 0

-x^2 + 2x - 2 > 0

Умножим обе части неравенства на -1, чтобы изменить знак:

x^2 - 2x + 2 < 0

Данное неравенство не имеет рациональных корней, поэтому мы не можем факторизовать его. Однако, мы можем найти его вершину, используя формулу x = -b/2a, где a = 1, b = -2:

x = -(-2)/(2*1) = 2/2 = 1

Таким образом, вершина графика данного неравенства находится в точке (1, -1).

Теперь мы можем построить график данного неравенства:

-1| | / | / | / | / ______|/______ | 0 1