Question

cos x cos 3x = sin 2x sin 6x

Answer 1

cos(x)cos(3x) = sin(2x)sin(6x)

(1.2)*[cos(2x)+cos(4x)]=(1/2)*[cos(4x)-cos(8x)]

cos(2x)+cos(8x)=0

2cos(5x)*cos(3x)=0

a) cos(5x)=0 => 5x=±(pi/2) +pi*n => x=±(pi/10) +pi*n/5

б) cos(3x)=0 => 3x=±(pi/2) +pi*n => x=±(pi/6) +pi*n/3

Answer 2

Для решения этого уравнения сначала преобразуем все тригонометрические функции в функции синуса и косинуса.

cos(x) + cos(3x) = sin(2x) + sin(6x)

Используем тригонометрические тождества:

cos(a) + cos(b) = 2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2) sin(a) + sin(b) = 2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)

Теперь подставим эти тождества в уравнение:

2*cos((x+3x)/2)*cos((3x-x)/2) = 2*sin((2x+6x)/2)*cos((6x-2x)/2)

Упростим:

2*cos(2x)*cos(x) = 2*sin(4x)*cos(2x)

Теперь разделим обе части уравнения на 2:

cos(2x)*cos(x) = sin(4x)*cos(2x)

Теперь используем тождество sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x) и cos(2x) = 2*cos^2(x) - 1:

(2*cos^2(x) - 1)*cos(x) = 2*2*sin(x)*cos(x)*cos(2x)

Упростим:

2*cos^3(x) - cos(x) = 4*sin(x)*cos(x)*(2*cos^2(x) - 1)

Теперь используем тождество sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x):

2*cos^3(x) - cos(x) = 8*sin(x)*cos^2(x) - 4*sin(x)*cos(x)

Теперь преобразим уравнение в кубическое уравнение относительно cos(x):

2*cos^3(x) - cos(x) - 8*sin(x)*cos^2(x) + 4*sin(x)*cos(x) = 0

Решив данное уравнение, получим значения для cos(x), затем найдем sin(x) и подставим обратно в исходное уравнение для проверки.