Question

Cosx cos3x-sinx sin3x=√2/2

Answer 1

Ответ:

х=п/16 +пк/2

х=7п/16+пк/2 к принадлежит целым числам

Объяснение:

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать формулы тригонометрии и применить их к выражениям cos(x), cos(3x), sin(x) и sin(3x). Воспользуемся следующими формулами:

cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x) sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)

Заменим cos(3x) и sin(3x) в исходном уравнении:

cos(x) + 4cos^3(x) - 3cos(x) - sin(x) + 3sin(x) - 4sin^3(x) = √2/2

Упростим это уравнение:

4cos^3(x) - 2cos(x) - 4sin^3(x) + 2sin(x) = √2/2

Разделим все члены уравнения на 2:

2cos^3(x) - cos(x) - 2sin^3(x) + sin(x) = √2/4

Теперь мы можем разложить выражения в кубах:

(2cos(x) - sin(x))(cos^2(x) + sin^2(x) + cos(x)sin(x) - 1) = √2/4

Мы знаем, что cos^2(x) + sin^2(x) = 1, поэтому упростим уравнение:

(2cos(x) - sin(x))(1 + cos(x)sin(x) - 1) = √2/4

(2cos(x) - sin(x))(cos(x)sin(x)) = √2/4

Теперь у нас есть два уравнения:

2cos(x) - sin(x) = √2/4 (1) cos(x)sin(x) = √2/4 (2)

Решение уравнения (1):

Для решения уравнения (1), мы можем использовать методы алгебры. Давайте решим его:

2cos(x) - sin(x) = √2/4

Перенесем √2/4 на другую сторону:

2cos(x) - sin(x) - √2/4 = 0

Теперь мы можем использовать формулу суммы тригонометрических функций, чтобы преобразовать это уравнение:

cos(x + α) = cos(x)cos(α) - sin(x)sin(α)

где α - это угол, удовлетворяющий условию cos(α) = 2/√5 и sin(α) = 1/√5.

Подставим значения cos(α) и sin(α) в формулу:

cos(x + α) = (2/√5)cos(x) - (1/√5)sin(x)

Теперь мы хотим, чтобы (2/√5)cos(x) - (1/√5)sin(x) было равно √2/4. Сравним коэффициенты при cos(x) и sin(x):

(2/√5)cos(x) = √2/4 (1/√5)sin(x) = -√2/4

Решим эти уравнения относительно cos(x) и sin(x):

cos(x) = (√2/4) * (√5/2) sin(x) = (-√2/4) * (√5/1)

Теперь мы можем использовать формулу тангенса:

tan(x) = sin(x) / cos(x)

Подставим значения sin(x) и cos(x) в формулу:

tan(x) = ((-√2/4) * (√5/1)) / ((√2/4) * (√5/2))

Упростим выражение:

tan(x) = -1

Тангенс -1 соответствует углу -π/4 или 3π/4. Таким образом, мы получаем два значения для x:

x = -π/4 + kπ, где k - целое число x = 3π/4 + kπ, где k - целое число

Решение уравнения (2):

Для решения уравнения (2), мы можем использовать методы алгебры. Давайте решим его:

cos(x)sin(x) = √2/4

Перенесем √2/4 на другую сторону:

cos(x)sin(x) - √2/4 = 0

Теперь мы можем использовать формулу двойного угла тангенса:

tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))

Подставим значения cos(x)sin(x) и упростим уравнение:

tan(2x) = (2(√2/4)) / (1 - (√2/4)^2)

Упростим выражение:

tan(2x) = 1

Тангенс 1 соответствует углу π/4 или 5π/4. Таким образом, мы получаем два значения для 2x:

2x = π/4 + kπ, где k - целое число 2x = 5π/4 + kπ, где k - целое число

Теперь мы можем решить уравнение для x:

x = π/8 + kπ/2, где k - целое число x = 5π/8 + kπ/2, где k - целое число

Таким образом, мы получили все значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению.