Question

В6. Найдите точки экстремумы функции: f(x)=2x3−0,5x4−8

Answer 1

Ответ:

$f(x)=2x^3-0,5x^4-8\\f'(x)=6x^2-2x^3=2x^2(3-x)\\f'(x)=0\\2x^2(3-x)=0\\x_1=0\\x_2=3$

+++++(0)+++++(3)-------

В точке х=3 производная меняет знак с "+" на "-"⇒ х=3 это точка max.

Answer 2

Поиск точек экстремума функции

Для нахождения точек экстремума функции \( f(x) = 2x^3 - 0.5x^4 - 8 \) необходимо найти её производную и решить уравнение \( f'(x) = 0 \). Экстремумы функции могут быть локальными минимумами или максимумами.

Нахождение производной

Для начала найдем производную функции \( f(x) \):

\[ f(x) = 2x^3 - 0.5x^4 - 8 \]

\[ f'(x) = 6x^2 - 2x^3 \]

Решение уравнения \( f'(x) = 0 \)

Теперь решим уравнение \( f'(x) = 0 \) для нахождения точек экстремума:

\[ 6x^2 - 2x^3 = 0 \]

\[ 2x^2(3 - x) = 0 \]

Отсюда получаем два решения:

1. \( 2x^2 = 0 \) => \( x = 0 \) 2. \( 3 - x = 0 \) => \( x = 3 \)

Определение типа экстремума

Теперь определим тип экстремума в найденных точках. Для этого используем вторую производную:

\[ f''(x) = 12x - 6x^2 \]

Подставляя найденные точки (\( x = 0 \) и \( x = 3 \)) во вторую производную, можно определить, является ли экстремум точки минимумом или максимумом.

Ответ

Таким образом, точки экстремума функции \( f(x) = 2x^3 - 0.5x^4 - 8 \) равны: - \( x = 0 \) (возможный минимум или максимум) - \( x = 3 \) (возможный минимум или максимум)

Для определения типа экстремума необходимо провести анализ второй производной в этих точках.