Question

Обчислити интеграли, використовуючи формулу интегрування частинами: S x^2 e^3x dx= Помогите пожалуйста очень нужно...

Answer 1

$\int {x^2\cdot e^{3x}} \, dx \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}u=x^2; \ \ \ dv=e^{3x} \, \\du=2x\, dx; \ \ \ \ v=\frac{e^{3x}}{3}\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \int {x^2\cdot e^{3x}} \, dx =x^2\cdot \frac{e^{3x}}{3}-\int \frac{2x \cdot e^{3x}}{3} \, dx =\frac{x^2\cdot e^{3x}}{2}-\frac{2}{3}\int x\cdot e^{3x} \, dx= \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}u=x; \ \ \ \ dv=e^{3x}dx\\ du=dx; \ \ \ \ v=\frac{e^{3x}}{3} \end{array}\right]$

$=\frac{1}{3} e^{3x}\cdot x^2-\frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3}e^{3x}\cdot x-\frac{1}{3}\cdot \int e^{3x} \, dx )=\frac{1}{3} e^{3x}\cdot x^2-\frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3}e^{3x}\cdot x-\frac{1}{3}\cdot\frac{e^{3x}}{3})=\\\\\frac{1}{3} e^{3x}\cdot x^2-\frac{2}{9}e^{3x}\cdot x+\frac{e^{3x}}{9}=e^{3x}\cdot (\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{9}x+\frac{2}{27})=\frac{1}{27}\cdot e^{3x}\cdot (9x^2-6x+2)$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла с использованием формулы интегрирования по частям, мы можем применить следующую формулу:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

где $u$ и $v$ - это функции, которые мы выбираем, чтобы производная одной функции стала интегралом другой функции.

В данном случае, мы можем выбрать $u = x^2$ и $dv = e^{3x} \, dx$. Тогда, мы можем вычислить $du$ и $v$:

$$du = \frac{d}{dx}(x^2) \, dx = 2x \, dx$$

$$v = \int e^{3x} \, dx$$

Для вычисления $v$, мы можем использовать метод интегрирования по частям снова. Выберем $u = 1$ и $dv = e^{3x} \, dx$. Тогда, мы можем вычислить $du$ и $v$:

$$du = \frac{d}{dx}(1) \, dx = 0$$

$$v = \int e^{3x} \, dx$$

Для вычисления $v$, мы можем использовать формулу для интегрирования экспоненты:

$$v = \frac{1}{3}e^{3x}$$

Теперь, мы можем применить формулу интегрирования по частям:

$$\int x^2 e^{3x} \, dx = x^2 \cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x} \cdot 2x \, dx$$

$$= \frac{1}{3}x^2e^{3x} - \frac{2}{3} \int xe^{3x} \, dx$$

Теперь, у нас остался интеграл $\int xe^{3x} \, dx$, который мы можем вычислить снова, используя формулу интегрирования по частям. Выберем $u = x$ и $dv = e^{3x} \, dx$. Тогда, мы можем вычислить $du$ и $v$:

$$du = \frac{d}{dx}(x) \, dx = dx$$

$$v = \int e^{3x} \, dx$$

Как мы уже вычислили ранее, $v = \frac{1}{3}e^{3x}$. Теперь, мы можем применить формулу интегрирования по частям:

$$\int xe^{3x} \, dx = x \cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x} \, dx$$

$$= \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}$$

Теперь, мы можем подставить это обратно в исходный интеграл:

$$\int x^2 e^{3x} \, dx = \frac{1}{3}x^2e^{3x} - \frac{2}{3} \left(\frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}\right)$$

$$= \frac{1}{3}x^2e^{3x} - \frac{2}{9}xe^{3x} + \frac{2}{27}e^{3x} + C$$

где $C$ - это постоянная интегрирования.

Таким образом, интеграл $\int x^2 e^{3x} \, dx$ равен $\frac{1}{3}x^2e^{3x} - \frac{2}{9}xe^{3x} + \frac{2}{27}e^{3x} + C$.