Question

2 Обчислити об’єм тіла обертання, утвореного лініями у =х² ; х = 0; х = 1, навколо вісі ОХ. 3 Обчислити шлях, пройдений тілом з швидкістю σ(t) =t²+ t - 1 (м/с) за 3 секунди руху. 4 Обчислити інтегрування частинами ∫ x cos xdx .

Answer 1

Ответ:

Тогда лови решение 2

Объяснение:

3. σ(t) =t²+ t - 1 -

Шлях S = $\int\limits^t_0 {v(t)} \, dt$ = t³/3+t²/2-t+Const, S(3)-S(0)=9+4,5 -3=10,5 m

Answer 2

#### Обчислення об'єму тіла обертання Для обчислення об'єму тіла обертання, утвореного лініями у = х², х = 0 та х = 1 навколо вісі ОХ, ми можемо скористатись формулою об'єму тіла обертання за відомою кривою, що задана в параметричній формі. Крива у = х² параметризується як (х, х²). Таким чином, ми повинні обчислити об'єм тіла обертання, який утворюється під кривою від х = 0 до х = 1, навколо вісі ОХ. Формула для обчислення об'єму тіла обертання заданої кривої за параметром t від a до b відносно вісі x має вигляд: V = ∫(2πx * f(x))dx, де f(x) - функція, що параметризує криву. У нашому випадку f(x) = x², a = 0 та b = 1. Виконуємо обчислення: V = ∫(2πx * x²)dx = 2π ∫(x³)dx = 2π * [(1/4)x^4] = (1/2)π. Отже, об'єм тіла обертання, утвореного лініями у = х², х = 0 та х = 1 навколо вісі ОХ, дорівнює (1/2)π. #### Обчислення шляху, пройденого тілом зі швидкістю σ(t) = t² + t - 1 (м/с) за 3 секунди Для обчислення шляху, який пройде тіло за певний проміжок часу, ми можемо використати формулу: шлях = ∫(швидкість)dt. У нашому випадку, швидкість тіла задана як σ(t) = t² + t - 1 (м/с), і ми хочемо обчислити шлях, який тіло пройде за 3 секунди. Виконуємо обчислення: шлях = ∫(t² + t - 1)dt = [(1/3)t³ + (1/2)t² - t] от t = 0 до t = 3. Підставляємо межі і обчислюємо: шлях = [(1/3)(3)³ + (1/2)(3)² - 3] - [(1/3)(0)³ + (1/2)(0)² - 0] = (1/3)(27) + (1/2)(9) - 3 = 9 + 4.5 - 3 = 10.5 метри. Отже, тіло пройде шлях довжиною 10.5 метри за 3 секунди руху зі швидкістю σ(t) = t² + t - 1 (м/с). #### Обчислення інтегралу за допомогою методу інтегрування частинами Для обчислення інтегралу ∫(x * cos(x))dx, ми можемо скористатись методом інтегрування частинами. Цей метод базується на формулі: ∫(u * dv) = u * v - ∫(v * du), де u та v - це функції залежної від x, а du та dv - це похідні від u та v відповідно. У нашому випадку, ми можемо вибрати: u = x (тоді du = dx), dv = cos(x)dx (тоді v = ∫cos(x)dx = sin(x)). Застосовуємо формулу: ∫(x * cos(x))dx = x * sin(x) - ∫(sin(x) * dx). Зараз нам потрібно обчислити ∫(sin(x) * dx). Це є простий інтеграл, і результатом буде -cos(x). Підставляємо значення у формулу: ∫(x * cos(x))dx = x * sin(x) - (-cos(x)) = x * sin(x) + cos(x) + C, де C - це константа інтегрування. Отже, інтеграл ∫(x * cos(x))dx дорівнює x * sin(x) + cos(x) + C.