Question

Найдите объем тела,полученного при вращении параболы y=x^2 от точки x=0 до точки x=3 вокруг оси абсцисс.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

     а

V=п∫f²dx

     b

   3

=п∫(x²)²dx=

  0

   3

=п∫x⁴dx=

   0

             3

=(1/5)(пx⁵)=(1/5)(п3⁵)=243п/5=48,6п

             0

Answer 2

Чтобы найти объем тела, полученного при вращении параболы y = x^2 от точки x = 0 до точки x = 3 вокруг оси абсцисс, мы можем использовать метод цилиндров.

Разобьем интервал от x = 0 до x = 3 на маленькие отрезки длиной dx. Затем, для каждого значения x, мы построим цилиндр с радиусом равным значению функции y = x^2 в этой точке и высотой dx. Объем каждого такого цилиндра будет равен площади основания (круга) умноженной на высоту.

Площадь основания каждого цилиндра будет равна pi * r^2, где r - радиус, т.е. значение функции y = x^2 в данной точке. Высота каждого цилиндра будет равна dx.

Таким образом, объем каждого цилиндра будет равен pi * (x^2)^2 * dx = pi * x^4 * dx.

Интегрируя это выражение по интервалу от x = 0 до x = 3, мы найдем общий объем:

V = ∫[0,3] pi * x^4 dx

Вычислим этот интеграл:

V = pi * ∫[0,3] x^4 dx

Проинтегрируем:

V = pi * (1/5) * x^5 |[0,3]

V = pi * (1/5) * (3^5 - 0^5)

V = pi * (1/5) * 243

V = 48.6 * pi

Таким образом, объем тела, полученного при вращении параболы y = x^2 от точки x = 0 до точки x = 3 вокруг оси абсцисс, равен 48.6 * pi.