Question

Найдите объем тела,полученного при вращении параболы y=x^2 от точки x=0 до точки x=2 вокруг оси абсцисс.

Answer 1

Ось абсцисс, это ось Х. При вращении вокруг нее точки, находящейся от нее на расстоянии y получится круг площадью S=πу²=π(х²)²=πх⁴

просуммируем площади всех такиех кругов от х=0 до х=2

$V=\int\limits^2_0 {\pi x^4} \, dx =\pi \frac{x^5}{5}| ^2_0=\pi (\frac{2^5}{5} -\frac{0^5}{5})=\pi \frac{32}{5}=20,1$

Answer 2

Чтобы найти объем тела, полученного вращением параболы \(y = x^2\) вокруг оси абсцисс от точки \(x = 0\) до точки \(x = 2\), мы можем использовать метод цилиндров известный как метод цилиндров Паппа. Этот метод заключается в том, чтобы разделить параболу на бесконечно маленькие сегменты, каждый из которых вращается вокруг оси абсцисс, образуя цилиндр. После этого мы интегрируем объем каждого цилиндра по всему диапазону, чтобы найти итоговый объем тела.

Формула для объема цилиндра вращения:

\[V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 \, dx\]

Где: - \(f(x)\) - функция, задающая параболу, в данном случае \(f(x) = x^2\). - \(a\) и \(b\) - пределы интегрирования, в данном случае \(a = 0\) и \(b = 2\).

Таким образом, для нашего конкретного случая, объем тела будет равен:

\[V = \pi \int_{0}^{2} (x^2)^2 \, dx\]

\[V = \pi \int_{0}^{2} x^4 \, dx\]

Интегрируя, получим:

\[V = \pi \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2\]

\[V = \pi \left(\frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5}\right)\]

\[V = \pi \left(\frac{32}{5}\right)\]

\[V = \frac{32}{5} \pi\]

Таким образом, объем тела, полученного при вращении параболы \(y = x^2\) от \(x = 0\) до \(x = 2\) вокруг оси абсцисс, равен \(\frac{32}{5} \pi\) (или примерно \(20.106\) кубических единиц, если мы оставим ответ в приближенной форме).