Question

СРОЧНО! 100 БАЛЛОВ! Найдите объем тела ,полученного при вращении параболы у=4х² от точки х=1 до точки х=3 вокруг оси абсцисс. Критерии оценивания: Использует формулу нахождения объема фигуры Находит первообразную Вычисляет объем искомой фигуры

Answer 1

Ответ:

Объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=x², x=0, x=2, равен:

tt displaystyle V=pi intlimits^2 _0 y^2 ; dx=pi intlimits^2 _0 x^4 ; dx=pi cdot begin{pmatrix}frac{x^5}5end{pmatrix} begin{vmatrix}\ \ end{matrix} ^2 _0 =\ \ \ =pi begin{pmatrix}frac{2^5}5 -frac{0^5}5end{pmatrix} =frac{32}5 pi =6,! 4, pi

Ответ: 6,4π.

Answer 2

Для нахождения объема тела, полученного при вращении параболы у=4х² от точки х=1 до точки х=3 вокруг оси абсцисс, мы можем воспользоваться формулой нахождения объема тела вращения:

V = π∫[a,b] (f(x))² dx

Где f(x) - функция параболы, а [a,b] - интервал вращения (в данном случае от 1 до 3).

Первообразную функции f(x)=4x² можно найти путем интегрирования: F(x) = (4/3)x³

Теперь мы можем вычислить объем искомой фигуры: V = π∫[1,3] (4x²)² dx = π∫[1,3] 16x⁴ dx = π * (16/5)x⁵ ∣[1,3] = π * (16/5)(3^5 - 1^5) = π * (16/5)(243 - 1) = π * (16/5)(242) = 7728π/5

Таким образом, объем тела, полученного при вращении параболы у=4х² от точки х=1 до точки х=3 вокруг оси абсцисс, равен 7728π/5.