Question

Знайдіть площу фігури обмежиними лініями у=6 і у=2х²

Answer 1

Ответ:

Найдем пределы фигуры по оси x:

6-x²=x+4

-x²-x+6-4=0

-x²-x+2=0

x²+x-2=0

D=1+8=9

x₁=(-1+3)/2=1

x₂=(-1-3)/2=-2

Тогда площадь равна:

Answer 2

Пошук площі фігури обмеженої лініями

Щоб знайти площу фігури обмеженої лініями у = 6 і у = 2х², спочатку нам потрібно знайти точки перетину цих двох ліній. Після цього ми зможемо побудувати проміжок, обмежений цими точками, і обчислити площу цієї фігури.

Знаходження точок перетину

Спочатку прирівняємо обидві рівняння до одної змінної:

у = 6 у = 2х²

Далі, прирівняємо ці два вирази:

6 = 2х²

Розкладаємо це рівняння на множники:

0 = 2х² - 6

отримуємо:

х² - 3 = 0

Факторизуємо це рівняння:

(х - √3)(х + √3) = 0

Отримуємо дві точки перетину:

х₁ = √3 х₂ = -√3

Тепер, коли ми знаходимо ці точки перетину, ми можемо побудувати проміжок, обмежений цими точками, і обчислити площу фігури.

Обчислення площі фігури

Фігура обмежена двома лініями у = 6 і у = 2х². Щоб обчислити площу цієї фігури, нам потрібно обчислити інтеграл від у = 6 до у = 2х² відносно змінної х.

Площа фігури обчислюється за формулою:

S = ∫[a,b] f(x) dx

У нашому випадку, a = -√3 і b = √3, оскільки ці значення відповідають точкам перетину.

Отже, ми обчислюємо:

S = ∫[-√3,√3] (6 - 2х²) dx

S = 6x - (2/3)х³ | [-√3,√3]

Підставимо верхню та нижню межі і обчислимо:

S = 6(√3) - (2/3)(√3)³ - [6(-√3) - (2/3)(-√3)³]

S = 6√3 - 2(√3)³/3 - (6√3 + 2(√3)³/3)

S = 6√3 - 2(3√3)/3 - (6√3 + 2(3√3)/3)

S = 6√3 - 6√3/3 - (6√3 + 6√3/3)

S = 0

Отже, площа фігури обмеженої лініями у = 6 і у = 2х² дорівнює 0.