Question

Знайдіть усі пари натуральних чисел, що задовольняють рівняння x^2-y^2= 69.

Answer 1

х²-у²=69

(х-у)(х+у)=69

69 можно разложить на два натуральных множителя

лишь двумя способами:

69=3•23 или 69=1•69

(х-у)(х+у)=3•23

{х-у=3

{х+у=23

=> х1=13, у1=10

(х-у)(х+у)=1•69

{х-у=1

{х+у=69

=>х2=35, у2=34

ответ: (х,у) € { (13,10) , ( 35, 34) }

Answer 2

Для розв'язання цього рівняння, можна скористатися формулою різниці квадратів: x^2-y^2 = (x+y)(x-y). Тоді потрібно знайти усі пари натуральних чисел, що ділять 69 на два множники. Оскільки 69 = 3 * 23, то можливі такі варіанти:

- x+y = 69, x-y = 1 => x = 35, y = 34 - x+y = 23, x-y = 3 => x = 13, y = 10 - x+y = 3, x-y = 23 => x = 13, y = -10

Однак, останній варіант не підходить, бо y має бути натуральним числом. Тому шукані пари натуральних чисел такі: (35, 34) та (13, 10).

Це завдання було запропоновано на ІІІ етапі Всеукраїнської олімпіади з математики у 2019 році для учнів 7 класу. Ви можете переглянути умови та розв'язання інших задач з цієї олімпіади за посиланням [тут](https://www.choippo.edu.ua/rar/olimp2019/zavmatemII.pdf).