Question

Решите неравенство ctg(6x+п/6)>-√3 Прошу помогите

Answer 1

Ответ:

$x\in \left(-\dfrac{\pi }{36}+\dfrac{\pi n}{6};\; \dfrac{\pi }{9}+\dfrac{\pi n}{6}\right)\; \: \; \: n\in Z$

Объяснение:

Решить тригонометрическое неравенство:

$ctg\left(6x+\dfrac{\pi }{6}\right) > -\sqrt{3}$

Начертим линию котангенсов и отметим на ней точку - √3.

Знак неравенства "больше", поэтому выделим на линии котангенсов интервал справа от точки.

Этому интервалу на окружности соответствует дуга, выделенная красным цветом.

Начальная точка этой дуги соответствует углу 0 радиан, конечная точка соответствует углу:

$arcctg(-\sqrt{3})=\pi -arcctg\sqrt{3}=\pi -\dfrac{\pi }{6}=\dfrac{5\pi }{6}$

Итак, учитывая, что наименьший положительный период котангенса равен π, получаем:

$\pi n < 6x+\dfrac{\pi }{6} < \dfrac{5\pi }{6}+\pi n,\; \: \; \: n\in Z$

$-\dfrac{\pi }{6}+\pi n < 6x < \dfrac{5\pi }{6}-\dfrac{\pi }{6}+\pi n,\; \: \; \: n\in Z$

$-\dfrac{\pi }{6}+\pi n < 6x < \dfrac{2\pi }{3}+\pi n,\; \: \; \: n\in Z$

$-\dfrac{\pi }{36}+\dfrac{\pi n}{6} < x < \dfrac{\pi }{9}+\dfrac{\pi n}{6},\; \: \; \: n\in Z$

$x\in \left(-\dfrac{\pi }{36}+\dfrac{\pi n}{6};\; \dfrac{\pi }{9}+\dfrac{\pi n}{6}\right)\; \: \; \: n\in Z$

Answer 2

Давайте разберемся с вашим неравенством. Нам нужно решить неравенство:

\[ \cot\left(6x + \frac{\pi}{6}\right) > -\sqrt{3} \]

Для начала, давайте найдем область допустимых значений для угла \(6x + \frac{\pi}{6}\). Зная, что \(\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}\), перепишем неравенство:

\[ \frac{1}{\tan\left(6x + \frac{\pi}{6}\right)} > -\sqrt{3} \]

Теперь возьмем обратный тангенс от обеих сторон:

\[ \tan\left(6x + \frac{\pi}{6}\right) < -\frac{1}{\sqrt{3}} \]

Теперь решим это неравенство. Обратите внимание, что период тангенса равен \(\pi\), поэтому мы можем добавить к \(6x + \frac{\pi}{6}\) любое число вида \(k\pi\), где \(k\) - целое число.

\[ 6x + \frac{\pi}{6} + k\pi < -\frac{1}{\sqrt{3}} \]

Теперь решим это неравенство для \(x\):

\[ x < -\frac{1}{6} - \frac{k}{6} - \frac{\pi}{36} \]

где \(k\) - целое число.

Таким образом, решением исходного неравенства будет:

\[ x \in \left(-\infty, -\frac{1}{6} - \frac{k}{6} - \frac{\pi}{36}\right) \]

где \(k\) - целое число.