Question

Найдите критические точки функции: y=x-2 cosx

Answer 1

Ответ:

x = (-1)^k × π/6 + πk , k € Z

Объяснение:

y = x-2cosx

y ` = (x-2×cosx) ` = (x) ` - (2×cosx) ` = (x) ` - (2) ` × (cosx) + (2) × (cosx) ` = 1 - 2sinx

y ` = 0

1 - 2sinx = 0

-2sinx = -1

sinx = 1/2

x = (-1)^k × arcsin(1/2) + πk , k€ Z

x = (-1)^k × π/6 + πk , k € Z

Answer 2

Функция y = x - 2cos(x) является комбинацией линейной функции x и косинусной функции cos(x). Чтобы найти критические точки этой функции, мы должны найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции y = x - 2cos(x). Для этого возьмем производную каждого элемента по отдельности.

Производная по x линейной функции x равна 1, так как производная константы равна нулю. Производная по x косинусной функции cos(x) равна -sin(x) по формуле производной косинуса.

Теперь найдем производную функции y = x - 2cos(x):

y' = 1 - 2(-sin(x))

Упростим это выражение:

y' = 1 + 2sin(x)

Критические точки

Теперь найдем значения x, при которых производная y' равна нулю:

1 + 2sin(x) = 0

2sin(x) = -1

sin(x) = -1/2

Используя таблицу значений синуса, мы можем найти значения x, при которых sin(x) равен -1/2:

x = 7π/6 + 2πk или x = 11π/6 + 2πk, где k - целое число

Теперь мы знаем, что критические точки функции находятся в точках x = 7π/6 + 2πk и x = 11π/6 + 2πk.

Оценка типа критических точек

Чтобы определить тип критических точек, нам нужно проанализировать поведение функции в окрестности каждой точки.

Подставим значения x = 7π/6 + 2πk и x = 11π/6 + 2πk в исходную функцию y = x - 2cos(x) и оценим знак производной в окрестности каждой точки.

При x = 7π/6 + 2πk: y = (7π/6 + 2πk) - 2cos(7π/6 + 2πk)

При x = 11π/6 + 2πk: y = (11π/6 + 2πk) - 2cos(11π/6 + 2πk)

Проведя анализ, мы можем определить тип каждой критической точки (максимум, минимум или точка перегиба), основываясь на знаке производной в окрестности точки.

Резюме

Функция y = x - 2cos(x) имеет критические точки в точках x = 7π/6 + 2πk и x = 11π/6 + 2πk. Чтобы определить тип каждой критической точки, необходимо проанализировать знак производной функции в окрестности каждой точки.