Question

Докажите что разность а⁷-а будет нацело делиться на 7 при любом значении а

Answer 1

Чтобы доказать, что разность a⁷-a будет равномерно делиться на 7 при любом значении a, мы воспользуемся математической индукцией.

Сначала мы докажем базовый случай, a = 0. Разность a⁷-a равна 0⁷ - 0, что равно 0. 0 равномерно делится на 7, поэтому базовый случай верен.

Теперь докажем индуктивный шаг. Предположим, что утверждение справедливо для некоторого значения a, то есть a⁷-a равномерно делится на 7. Нужно показать, что оно справедливо и для a+1.

Имеем: (a+1)⁷ - (a+1) = a⁷ + 7a⁶ + 21a⁵ + 35a⁴ + 35a³ + 21a² + 7a + 1 - a - 1 = a⁷ - a + 7a⁶ + 21a⁵ + 35a⁴ + 35a³ + 21a² + 7a.

Поскольку разность a⁷-a равномерно делится на 7, число 7a⁶ + 21a⁵ + 35a⁴ + 35a³ + 21a² + 7a также делится на 7. Поэтому разность (a+1)⁷ - (a+1) также делится на 7.

Путем математической индукции мы доказали, что разность a⁷-a равномерно делится на 7 при любом значении a.

Answer 2

Для доказательства того, что разность a⁷ - a будет нацело делиться на 7 при любом значении a, мы можем использовать метод математической индукции.

Базовый шаг:

Для a = 1, разность 1⁷ - 1 равна 0, что делится на 7 без остатка.

Предположение индукции:

Предположим, что для некоторого целого числа k разность k⁷ - k делится на 7 без остатка.

Шаг индукции:

Докажем, что разность (k + 1)⁷ - (k + 1) также будет делиться на 7 без остатка.

Раскроем скобки в выражении (k + 1)⁷ - (k + 1): (k + 1)⁷ - (k + 1) = k⁷ + 7k⁶ + 21k⁵ + 35k⁴ + 35k³ + 21k² + 7k + 1 - (k + 1)

Упростим это выражение: k⁷ + 7k⁶ + 21k⁵ + 35k⁴ + 35k³ + 21k² + 7k + 1 - (k + 1) = k⁷ + 7k⁶ + 21k⁵ + 35k⁴ + 35k³ + 21k² + 7k

Заметим, что каждый из членов k⁷, 7k⁶, 21k⁵, 35k⁴, 35k³, 21k² и 7k делится на 7 без остатка, так как каждый из них содержит множитель 7. Следовательно, их сумма также будет делиться на 7 без остатка.

Таким образом, разность (k + 1)⁷ - (k + 1) делится на 7 без остатка, если разность k⁷ - k делится на 7 без остатка.

Исходя из базового шага и шага индукции, мы можем заключить, что разность a⁷ - a будет нацело делиться на 7 при любом значении a.