Question

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения: 1)(7n+6)^2-64 делиться нацело на 7 2)(8n+1)^2-(2n-5)^2 делиться нацело на 6

Answer 1

1.)
$(7n+6)^2-64=(49n^2+84n+36)-64=49n^2+84n+36-64=$

$=(49n^2+84n-28)=7(7n^2+12n-4)$

Делиться на 7, так как разложили на множители, один из которых равен 7

2) 
$(8n+1)^2-(2n-5)^2=(64n^2+16n+1)-(4n^2-20n+25)=$

$=64n^2+16n+1-4n^2+20n-25=60n^2+36n-24=$

$=6(10n^2+6n-4)$

Делится на 6, так как разложили на множители один из которых равен 6

Answer 2

1. Рассмотрим выражение (7n + 6)^2 - 64. Раскроем квадрат, используя формулу (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2: (7n + 6)^2 - 64 = 49n^2 + 84n + 36 - 64 = 49n^2 + 84n - 28

Теперь заметим, что 84n - 28 = 28(3n - 1). Таким образом, мы можем переписать выражение следующим образом: (7n + 6)^2 - 64 = 49n^2 + 28(3n - 1)

Так как 28 делится на 7, а 49n^2 делится на 7 для любого натурального n, то и выражение (7n + 6)^2 - 64 также делится на 7 для любого натурального n.

2. Рассмотрим выражение (8n + 1)^2 - (2n - 5)^2. Применим формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b): (8n + 1)^2 - (2n - 5)^2 = (8n + 2n - 4)(8n + 2n + 6)

Заметим, что 8n + 2n - 4 = 10n - 4 = 2(5n - 2) делится на 2, а 8n + 2n + 6 = 10n + 6 = 2(5n + 3) делится на 2 и на 3. Следовательно, произведение (8n + 1)^2 - (2n - 5)^2 делится на 2*3=6 для любого натурального n.

Таким образом, мы доказали, что оба выражения при любом натуральном n делятся на 7 и на 6 соответственно.