Question

Знайти похідну функції g(x)=x2-4x/x+1 у точці х0=-2 ?

Answer 1

$g(x) = \frac{ {x}^{2} - 4x }{x + 1} \\ g'(x) = \frac{( {x}^{2} - 4x)' \times (x +1 ) - (x + 1)' \times (x {}^{2} - 4x) }{(x + 1) {}^{2} } = \\ \frac{(2x - 4)(x + 1) - ( {x }^{2} - 4x) }{ {x}^{2} + 2x + 1 } = \\ \frac{2 {x}^{2} + 2x - 4x - 4 - {x}^{2} + 4x }{ {x}^{2} + 2x + 1} = \\ \frac{ {x}^{2} +2 x - 4}{ {x}^{2} + 2x + 1} = \frac{ {x}^{2} + 2x - 4 }{(x + 1) {}^{2} } \\ x_{0} = - 2 \\ g'(x) = \frac{( - 2) {}^{2} + 2 \times ( - 2) - 4}{( - 2 + 1) {}^{2} } = \\ \frac{4 - 4 - 4}{1} = - 4$

Answer 2

Щоб знайти похідну функції g(x) = (x^2 - 4x) / (x + 1) в точці x0 = -2, використаємо правило диференціювання частини (Quotient rule) та правило диференціювання степеневої функції (Power rule). Отже, почнемо з розкладання функції на дві окремі функції:

g(x) = f(x) / h(x), де f(x) = x^2 - 4x та h(x) = x + 1.

Знайти f'(x):

Для знаходження похідної функції f(x) = x^2 - 4x, застосуємо правило диференціювання степеневої функції.

f'(x) = (2x) - 4, застосовуючи правило диференціювання степеневої функції, де ' означає диференціювання по x.

Таким чином, f'(x) = 2x - 4.

Знайти h'(x):

Для знаходження похідної функції h(x) = x + 1, застосуємо правило диференціювання степеневої функції.

h'(x) = 1, застосовуючи правило диференціювання степеневої функції, де ' означає диференціювання по x.

Таким чином, h'(x) = 1.

Знайти похідну g'(x):

За правилом диференціювання частини (Quotient rule), похідна функції g(x) дорівнює:

g'(x) = (f'(x) * h(x) - f(x) * h'(x)) / (h(x))^2.

Підставляємо значення f'(x), f(x), h'(x) та h(x) в формулу:

g'(x) = ((2x - 4) * (x + 1) - (x^2 - 4x) * 1) / (x + 1)^2.

Спрощуємо вираз:

g'(x) = (2x^2 + 2x - 4x - 4 - x^2 + 4x) / (x + 1)^2.

g'(x) = (x^2 + 2x - 4) / (x + 1)^2.

Знайти значення похідної в точці x0 = -2:

Підставляємо значення x0 = -2 в похідну функцію g'(x):

g'(-2) = ((-2)^2 + 2 * (-2) - 4) / ((-2) + 1)^2.

g'(-2) = (4 - 4 - 4) / (1)^2.

g'(-2) = -4 / 1.

Таким чином, значення похідної функції g(x) в точці x0 = -2 дорівнює -4.