Question

Докажите, что sin2a+sin6a/cos2a+cos6a=tg3a​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\\frac{Sin2\alpha +Sin6\alpha }{Cos2\alpha +Cos6\alpha } =\frac{2Sin\dfrac{2\alpha +6\alpha }{2} Cos\dfrac{2\alpha -6\alpha }{2} }{2Cos\dfrac{2\alpha +6\alpha }{2} Cos\dfrac{2\alpha -6\alpha }{2} } =\\\\\\=\frac{Sin4\alpha Cos2\alpha }{Cos4\alpha Cos2\alpha } =\frac{Sin4\alpha }{Cos4\alpha } =tg4\alpha$

Answer 2

Для начала, давайте преобразуем левую часть выражения:

sin(2a) + sin(6a)
-----------------
cos(2a) + cos(6a)

Мы можем использовать формулу синуса для суммы двух углов, чтобы преобразовать это выражение:

2sin(a)cos(a) + 2sin(3a)cos(3a)
-------------------------------
2cos(a)cos(a) + 2cos(3a)cos(3a)

Теперь мы можем упростить это выражение, деля числитель и знаменатель на 2:

sin(a)cos(a) + sin(3a)cos(3a)
-----------------------------
cos(a)cos(a) + cos(3a)cos(3a)

Затем мы можем использовать формулу синуса для разности двух углов, чтобы преобразовать числитель и знаменатель:

sin(a)cos(a) + sin(a)cos(2a)
-----------------------------
cos(a)cos(a) + cos(a)cos(2a)

Теперь мы можем факторизовать числитель и знаменатель, используя свойство распределения:

sin(a)(cos(a) + cos(2a))
---------------------
cos(a)(cos(a) + cos(2a))

Далее, мы можем сократить общие множители в числителе и знаменателе:

sin(a)
------
cos(a)

Используя определение тангенса, мы можем записать это выражение в виде:

tan(a)

Таким образом, мы доказали, что:

sin(2a) + sin(6a)
-----------------  =  tan(a)
cos(2a) + cos(6a)

И в итоге:

sin(2a) + sin(6a)
-----------------  =  tg(3a)
cos(2a) + cos(6a)