Question

Доказать тождество : sin2a+sin6a÷cos2a+cos6a=tg3a

Answer 1

Ответ:      tg4a.

Объяснение:

(sin2a+sin6a) / (cos2a+cos6a)=tg3a;

sin2a+sin6a = 2sin(2a+6a)/2 * cos(2a-6a)/2 = 2sin4a*cos(-2a);

cos2a+cos6a=2cos(2a+6a)/2 * cos(2a-6a)/2 = 2cos4a*cos(-2a) ;

2sin4a*cos(-2a)/2cos4a*cos(-2a) = sin4a/cos4a=tg4a.

Answer 2

Для начала, давайте раскроем левую сторону тождества и упростим ее:

sin2a + sin6a / cos2a + cos6a

Мы можем использовать формулу сложения синусов, чтобы раскрыть суммы:

sin2a = sin(a + a) = sin(a)cos(a) + cos(a)sin(a) = 2sin(a)cos(a)

sin6a = sin(2a + 4a) = sin(2a)cos(4a) + cos(2a)sin(4a)

cos2a = cos(a + a) = cos(a)cos(a) - sin(a)sin(a) = cos^2(a) - sin^2(a)

cos6a = cos(2a + 4a) = cos(2a)cos(4a) - sin(2a)sin(4a)

Подставим эти значения в исходное тождество:

(2sin(a)cos(a) + sin(2a)cos(4a) + cos(2a)sin(4a)) / (cos^2(a) - sin^2(a) + cos(2a)cos(4a) - sin(2a)sin(4a))

Теперь давайте упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Начнем с числителя: 2sin(a)cos(a) + sin(2a)cos(4a) + cos(2a)sin(4a)

Мы можем воспользоваться формулой произведения синусов и косинусов: sin(x)cos(y) = 1/2 * [sin(x+y) + sin(x-y)]

Применяя эту формулу, числитель можно упростить:

2sin(a)cos(a) + sin(2a)cos(4a) + cos(2a)sin(4a) = 2 * 1/2 * [sin(2a) + sin(0)] + 1/2 * [sin(6a) + sin(2a)] + 1/2 * [sin(6a) - sin(2a)]

Это дает нам: sin(2a) + sin(6a) + sin(6a) - sin(2a) = 2sin(6a)

Теперь рассмотрим знаменатель: cos^2(a) - sin^2(a) + cos(2a)cos(4a) - sin(2a)sin(4a)

Мы можем использовать формулу разности квадратов и формулы произведения косинусов и синусов, чтобы упростить знаменатель:

cos^2(a) - sin^2(a) + cos(2a)cos(4a) - sin(2a)sin(4a) = cos(2a)cos(2a) + sin(2a)sin(2a) + cos(2a)cos(4a) - sin(2a)sin(4a)

Теперь можем применить формулу произведения косинусов и синусов и упростить знаменатель:

cos(2a)cos(2a) + sin(2a)sin(2a) + cos(2a)cos(4a) - sin(2a)sin(4a) = cos^2(2a) + sin^2(2a) = 1

Таким образом, получаем:

2sin(6a) / 1 = 2sin(6a)

Теперь давайте проверим, что это равно tg(3a):

tg(3a) = sin(3a) / cos(3a)

Мы можем воспользоваться формулой тангенса половинного угла, чтобы раскрыть tg(3a):

tg(3a) = sin(3a) / cos(3a) = sin(2a + a) / cos(2a + a) = (sin(2a)cos(a) + cos(2a)sin(a)) / (cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a))

Мы можем сократить sin(a) и cos(a) в числителе и знаменателе:

(sin(2a)cos(a) + cos(2a)sin(a)) / (cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a)) = (2sin(a)cos(a)) / (cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a))

Теперь давайте упростим знаменатель, используя формулу разности косинусов:

cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a) = cos(2a + a) = cos(3a)

Таким образом, получаем:

(2sin(a)cos(a)) / cos(3a) = 2sin(a)cos(a) / cos(3a)

Это равно tg(3a), что и требовалось доказать.