Question

1132. Розв'яжіть систему двох лінійних рівнянь із двома змінними способом додавання: 1)5x-4y=18, 3x+4y=-2; 2 )x-y=4, x+y=-10; 3) 4x+y=12, 6x+y=18;4)5x-2y=37, |3x+4y=-9; ​

Answer 1

Відповідь: 1) Спочатку додамо два рівняння, щоб знищити змінну y:

5x - 4y = 18

+ 3x + 4y = -2

------------

8x = 16

x = 2

Підставимо x в одне з рівнянь і знайдемо y:

5x - 4y = 18

5(2) - 4y = 18

-4y = 8

y = -2

Отже, розв'язок системи рівнянь:

x = 2, y = -2

2) Додамо два рівняння, щоб знищити змінну y:

x - y = 4

+ x + y = -10

---------

2x = -6

x = -3

Підставимо x в одне з рівнянь і знайдемо y:

x - y = 4

-3 - y = 4

y = -7

Отже, розв'язок системи рівнянь:

x = -3, y = -7

3) Додамо два рівняння, щоб знищити змінну y:

4x + y = 12

+ 6x + y = 18

------------

10x = 30

x = 3

Підставимо x в одне з рівнянь і знайдемо y:

4x + y = 12

4(3) + y = 12

y = 0

Отже, розв'язок системи рівнянь:

x = 3, y = 0

4) Додамо два рівняння, щоб знищити змінну y:

5x - 2y = 37

+ 3x + 4y = -9

------------

8x = 28

x = 3.5

Підставимо x в одне з рівнянь і знайдемо y:

5x - 2y = 37

5(3.5) - 2y = 37

-2y = 19.5

y = -9.75

Отже, розв'язок системи рівнянь:

x = 3.5, y = -9.75

Answer 2

Answer 3

Звісно, розглянемо кожну систему рівнянь та розв'яжемо їх методом додавання.

1) \(5x - 4y = 18, \quad 3x + 4y = -2\)

Спростимо систему: \[ \begin{cases} 5x - 4y = 18 \\ 3x + 4y = -2 \end{cases} \]

Спростимо систему, додавши обидва рівняння:

\[ \begin{align*} &(5x - 4y) + (3x + 4y) = 18 + (-2) \\ &8x = 16 \\ &x = 2 \end{align*} \]

Підставимо значення \(x\) у перше рівняння:

\[ \begin{align*} 5(2) - 4y &= 18 \\ 10 - 4y &= 18 \\ -4y &= 8 \\ y &= -2 \end{align*} \]

Отже, розв'язок системи: \(x = 2, y = -2\).

2) \(x - y = 4, \quad x + y = -10\)

Спростимо систему, додавши обидва рівняння:

\[ \begin{align*} &(x - y) + (x + y) = 4 + (-10) \\ &2x = -6 \\ &x = -3 \end{align*} \]

Підставимо значення \(x\) у перше рівняння:

\[ \begin{align*} (-3) - y &= 4 \\ -3 - 4 &= y \\ y &= -7 \end{align*} \]

Отже, розв'язок системи: \(x = -3, y = -7\).

3) \(4x + y = 12, \quad 6x + y = 18\)

Спростимо систему, додавши обидва рівняння:

\[ \begin{align*} &(4x + y) + (6x + y) = 12 + 18 \\ &10x + 2y = 30 \\ &5x + y = 15 \end{align*} \]

Тепер у нас є нове рівняння \(5x + y = 15\). Знову розв'яжемо систему:

\[ \begin{cases} 4x + y = 12 \\ 5x + y = 15 \end{cases} \]

Спростимо, віднімаючи перше рівняння від другого:

\[ \begin{align*} &(5x + y) - (4x + y) = 15 - 12 \\ &x = 3 \end{align*} \]

Підставимо значення \(x\) у перше рівняння:

\[ \begin{align*} 4(3) + y &= 12 \\ 12 + y &= 12 \\ y &= 0 \end{align*} \]

Отже, розв'язок системи: \(x = 3, y = 0\).

4) \(5x - 2y = 37, \quad |3x + 4y| = 9\)

Спростимо систему:

\[ \begin{align*} 5x - 2y &= 37 \\ |3x + 4y| &= 9 \end{align*} \]

Розглянемо два випадки:

a) \(3x + 4y = 9\)

Додамо обидва рівняння:

\[ \begin{align*} &(5x - 2y) + (3x + 4y) = 37 + 9 \\ &8x + 2y = 46 \end{align*} \]

Розділимо обидва боки на 2:

\[ \begin{align*} &4x + y = 23 \end{align*} \]

Тепер маємо систему:

\[ \begin{cases} 4x + y = 23 \\ 3x + 4y = 9 \end{cases} \]

Використаємо метод додавання:

\[ \begin{align*} &(4x + y) - (3x + 4y) = 23 - 9 \\ &x - 3y = 14 \end{align*} \]

Підставимо це значення у попереднє рівняння:

\[ \begin{align*} x - 3y &= 14 \\ 3y &= x - 14 \\ y &= \frac{1}{3}x - \frac{14}{3} \end{align*} \]

Отже, розв'язок цього випадку: \(y = \frac{1}{3}x - \frac{14}{3}\).

b) \(3x + 4y = -9\)

Додамо обидва рівняння:

\[ \begin{align*} &(5x - 2y) + (-(3x + 4y)) = 37 + (-9) \\ &8x + 6y = 28 \end{align*} \]

Розділимо обидва боки на 2:

\[ \begin{align*} &4x + 3y = 14 \end{align*} \]

Тепер маємо систему:

\[ \begin{cases} 4x + 3y = 14 \\ 3x + 4y = -9 \end{cases} \]

Використаємо метод додавання:

\[ \begin{align*} &(4x + 3y) - (3x + 4y) = 14 - (-9) \\ &x - y = 23 \end{align*} \]

Підставимо це значення у попереднє рівняння:

\[ \begin{align*} x - y &= 23 \\ y &= x - 23 \end{align*} \]

Отже, розв'язок цього випадку: \(y =