Question

Розв'яжіть рівняння cos x/3 cosπ/6+sinx/3 sinx/6=-1​

Answer 1

Ответ:

Розв'яжемо рівняння крок за кроком:

cos(x/3)cos(π/6) + sin(x/3)sin(x/6) = -1

За формулою про косинус суми, маємо:

cos(x/3 - π/6) = -1

Для того, щоб косинус був рівним -1, аргумент має бути рівним (2k+1)π, де k - ціле число.

Тому:

x/3 - π/6 = (2k+1)π

x/3 = (2k+2)π/6

x = 6kπ/2 + π

x = 3kπ + π

Отже, загальний розв'язок рівняння має вигляд x = (3k+1)π, де k - ціле число.

Перевіримо розв'язок для кінцевих значень k:

при k = 0, x = π - можна перевірити, що це дійсно є розв'язком рівняння;

при k = 1, x = 4π - також можна перевірити, що це є розв'язком рівняння.

Отже, маємо два розв'язки: x = π та x = 4π.

Объяснение:

Answer 2

Звідси ми можемо використовувати тригонометричні тотожності для зменшення складності виразу. Вирази типу cos(a + b) і sin(a + b) можна представити у вигляді інших тригонометричних функцій. Давайте розглянемо це крок за кроком.

1. Замінимо cos(π/6) і sin(π/6) значеннями. 2. Використаємо тотожність cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) для спрощення виразу.

Розглянемо обидва кроки:

1. Підставимо значення: \[\cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{2} + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \frac{1}{2} = -1\]

2. Спростимо вираз: \[\cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -1\]

\[\cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = -1\]

\[\cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\]

Тепер вираз став майже як тригонометрична тотожність \(\cos(\alpha + \beta)\), де \(\alpha = \frac{x}{3}\) і \(\beta = \frac{\pi}{6}\). Застосуємо тотожність:

\[\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)\]

Підставимо значення \(\alpha = \frac{x}{3}\) і \(\beta = \frac{\pi}{6}\):

\[\cos\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{x}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{x}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\]

Таким чином, отримали тригонометричну тотожність, яку можна використовувати для розв'язання задачі. Тепер вам потрібно вирішити рівняння:

\[\cos\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\]

Для цього потрібно знайти всі значення \(x\), які задовольняють цьому рівнянню. Це можна зробити, наприклад, за допомогою графіка функції або використовуючи тригонометричні властивості.

Сподіваюся, це допомагає!