Question

№10 1)Опишите схему исследования функции.2)Исследуйте с помощью производной функции: а)f(x)=x^4/4+x^3/3-x^2;б)f(x)=8/x+x/2;в)f(x)=x^3-3x^2-9x;г)f(x)=x/4-x^2;3)Исследуйте по общей схеме функцию f и постройте ее график:а)f(x)=x^2-2/x;б)f(x)=x^2(x-2)^2;в)f(x)=2x^2+3x-1;г)f(x)=x^3/3+x^2-3x+1.​

Answer 1

Ответ:

а)f(x)=x^4/4+x^3/3-x^2

1)D(f)-П,-Є(f)-R

2)нечетная, не нечетная

3)f(0)=0 (0:0)

4)f'(x)=x^3+x^2-2x

X^3+X^2-2X=0

X^2(X^2+X-2)=0

X^2+X-2=0

D=1+8=9>0

X1,2=-1±3/2

X1=-2

X2=0

Answer 2

1) Описание схемы исследования функции

Исследование функции включает анализ ее основных характеристик, таких как область определения, область значений, асимптоты, экстремумы, точки перегиба и график функции. Для исследования функции используются различные методы, включая аналитический и графический подходы.

Схема исследования функции обычно включает следующие шаги:

1. Определение области определения функции: это множество значений аргумента, для которых функция определена. Например, если функция содержит выражение в знаменателе, необходимо исключить значения, при которых знаменатель равен нулю.

2. Определение области значений функции: это множество значений, которые функция может принимать. Область значений может быть ограничена или неограничена.

3. Определение четности или нечетности функции: функция называется четной, если f(-x) = f(x) для всех значений x в области определения функции. Функция называется нечетной, если f(-x) = -f(x) для всех значений x в области определения функции.

4. Нахождение производной функции: производная функции позволяет определить поведение функции в различных точках. Производная функции может быть использована для нахождения экстремумов, точек перегиба, а также для построения графика функции.

5. Анализ поведения функции: с помощью производной функции можно определить экстремумы (максимумы и минимумы) функции, а также точки перегиба. Это позволяет определить возрастание и убывание функции, а также выпуклость и вогнутость графика функции.

6. Построение графика функции: на основе полученных данных можно построить график функции, который иллюстрирует ее поведение на заданной области определения.

2) Исследование функций с использованием производной

а) Функция f(x) = x^4/4 + x^3/3 - x^2 - Найдем производную функции f(x): f'(x) = 4x^3/4 + 3x^2/3 - 2x = x^3 + x^2 - 2x - Найдем точки экстремума и точки перегиба: Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: x^3 + x^2 - 2x = 0 Получаем x = -2, x = 0, x = 1 - Теперь анализируем знак производной функции: Для x < -2: f'(x) < 0, функция убывает Для -2 < x < 0: f'(x) > 0, функция возрастает Для 0 < x < 1: f'(x) < 0, функция убывает Для x > 1: f'(x) > 0, функция возрастает - Анализируя знак производной, можно сделать вывод о наличии экстремумов и точек перегиба. График функции можно построить с помощью полученной информации.

б) Функция f(x) = 8/x + x/2 - Найдем производную функции f(x): f'(x) = -8/x^2 + 1/2 - Найдем точки экстремума: Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: -8/x^2 + 1/2 = 0 Получаем x = 2 - Теперь анализируем знак производной функции: Для x < 2: f'(x) < 0, функция убывает Для x > 2: f'(x) > 0, функция возрастает - Анализируя знак производной, можно сделать вывод о наличии экстремумов. График функции можно построить с помощью полученной информации.

в) Функция f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 - Найдем точки экстремума: Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: 3x^2 - 6x - 9 = 0 Получаем x = -1, x = 3 - Теперь анализируем знак производной функции: Для x < -1: f'(x) < 0, функция убывает Для -1 < x < 3: f'(x) > 0, функция возрастает Для x > 3: f'(x) < 0, функция убывает - Анализируя знак производной, можно сделать вывод о наличии экстремумов. График функции можно построить с помощью полученной информации.

г) Функция f(x) = x/4 - x^2 - Найдем производную функции f(x): f'(x) = 1/4 - 2x - Найдем точки экстремума: Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: 1/4 - 2x = 0 Получаем x = 1/8 - Теперь анализируем знак производной функции: Для x < 1/8: f'(x) < 0, функция убывает Для x > 1/8: f'(x) > 0, функция возрастает - Анализируя знак производной, можно сделать вывод о наличии экстремумов. График функции можно построить с помощью полученной информации.

3) Исследование функций и построение графиков

а) Функция f(x) = x^2 - 2/x - Определим область определения функции: x ≠ 0 - Определим область значений функции: f(x) ∈ (-∞, +∞) - Найдем асимптоты функции: Горизонтальная асимптота: y = 0 (при x → ±∞) Вертикальная асимптота: x = 0 - Найдем производную функции f(x): f'(x) = 2x + 2/x^2 - Найдем точки экстремума: Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: 2x + 2/x^2 = 0 Получаем x = ±√2 - Теперь анализируем знак производной функции: Для x < -√2: f'(x) < 0, функция убывает Для -√2 < x < 0: f'(