Question

В арифметичній прогресії четвертий член дорівнює 21, а сума п’яти перших членів 95. Знайдіть 51-й член цієї прогресії. Допоможіть будь ласка!!!

Answer 1

$\displaystyle\bf\\a_{4} =21\\\\S_{5} =95\\\\a_{51} =?\\\\\\\left \{ {{a_{1} +3d=21} \atop {\dfrac{a_{1} +a_{5} }{2}\cdot 5=95 }} \right. \\\\\\\left \{ {{a_{1} +3d=21} \atop {\dfrac{a_{1} +a_{1} +4d}{2}=19 }} \right. \\\\\\\left \{ {{a_{1} +3d=21} \atop {\dfrac{2a_{1} +4d}{2}=19 }} \right.\\\\\\\left \{ {{a_{1}+3d=21 } \ |\cdot(-1) \atop {a_{1} +2d=38}} \right. \\\\\\+\left \{ {{-a_{1}-3d=-21 } \ \atop {a_{1} +2d=38}} \right. \\----------\\-d=17\\\\d=-17$

$\displaystyle\bf\\a_{1} =38-2d=38-2\cdot(-17)=38+34=72\\\\\\a_{51} =a_{1} +50d=72+50\cdot(-17)=72-850=-778\\\\\\Otvet \ : \ a_{51}=-778$

Answer 2

Щоб розв'язати це завдання, нам потрібно використати формули для арифметичної прогресії. Арифметична прогресія - це послідовність чисел, в якій різниця між будь-якими двома сусідніми членами є постійною.

Перш за все, давайте знайдемо перші п'ять членів прогресії. Нехай перший член буде a, а різниця між членами - d.

Перший член (a) нам не відомий, але нам дано, що четвертий член дорівнює 21. Таким чином, ми можемо записати:

a + 3d = 21 (формула для четвертого члена)

Також нам додатково дано, що сума перших п'яти членів прогресії дорівнює 95. Ми можемо записати це як:

(5/2)(2a + 4d) = 95 (формула для суми перших п'яти членів)

Тепер ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими (a і d). Ми можемо вирішити цю систему, щоб знайти значення a і d.

Розв'язання:

1. Знайдемо значення a, використовуючи перше рівняння: a + 3d = 21

Для цього віднімемо 3d з обох боків: a = 21 - 3d

2. Підставимо значення a в друге рівняння: (5/2)(2a + 4d) = 95

Замінимо a на 21 - 3d: (5/2)(2(21 - 3d) + 4d) = 95

3. Розкриємо дужки та спростимо: (5/2)(42 - 6d + 4d) = 95 (5/2)(42 - 2d) = 95 (5/2)*42 - (5/2)*2d = 95 105 - 5d = 95

4. Вирішимо це рівняння для d: 105 - 5d = 95

Віднімемо 105 з обох боків: -5d = 95 - 105 -5d = -10

Поділимо обидва боки на -5: d = -10 / -5 d = 2

5. Підставимо значення d в перше рівняння, щоб знайти значення a: a + 3(2) = 21 a + 6 = 21

Віднімемо 6 з обох боків: a = 21 - 6 a = 15

Таким чином, ми знайшли, що перший член прогресії (a) дорівнює 15, а різниця між членами (d) дорівнює 2.

Знайдемо 51-й член прогресії:

Формула для загального члена арифметичної прогресії:

aₙ = a + (n - 1)d

де aₙ - n-й член прогресії, a - перший член, n - номер члена, d - різниця між членами.

Застосуємо цю формулу для знаходження 51-го члена прогресії:

a₅₁ = 15 + (51 - 1) * 2

a₅₁ = 15 + 50 * 2

a₅₁ = 15 + 100

a₅₁ = 115

Таким чином, 51-й член цієї арифметичної прогресії дорівнює 115.