Question

1. Знайти суму цілих розв’язків нерівності -2х² + 7х - 5 ≥ 0. 2. Яке з чисел є розв'язком нерівності -х² + 2х > 0? 3. Розв'яжіть графічно систему рівнянь х² + у² = 8 х² - у = 2

Answer 1

Для знаходження суми розв'язків нерівності -2х² + 7х - 5 ≥ 0, необхідно спочатку її вирівняти:
-2х² + 7х - 5 = 0

Далі можна використати метод дискримінанта, щоб визначити, чи є розв'язки цієї квадратної рівняння, а якщо так, то скільки їх:

b² - 4ac = 49 - 4 * (-2) * (-5) = 49 + 40 = 89

√(89) = 9,44

Отже, маємо два розв'язки:

x = ( -7 ± 9,44 ) / 4 * (-2) = ( 7 ± 9,44 ) / -8 = ( 7/8 ) ± ( 9,44 / 8 )

Це дозволяє нам знайти суму розв'язків:

x = ( 7/8 ) + ( 9,44 / 8 ) + ( 7/8 ) - ( 9,44 / 8 ) = 7/4

2. Для визначення розв'язків нерівності -х² + 2х > 0, необхідно вирівняти її:
-х² + 2х - 0 > 0

Далі використати метод дискримінанта:

b² - 4ac = 4 - 4 * (-1) * 0 = 4 + 0 = 4

√(4) = 2

x = ( -2 ± 2 ) / 2 = -1 ± 1

Розв'язками нерівності є числа: (-1, 1).

3. Для вирішення системи рівнянь х² + у² = 8 х² - у = 2 графічно, можна намалювати графіки кожної з рівнянь та знайти місце зіткнення.

Для х² + у² = 8 можна намалювати круг з центром в (0, 0) та радіусом √(8).

Для х² - у = 2 можна намалювати параболу, яка проходить через (0, -2) та (2, 0).

Зіткнення двох графіків відображає розв'язок системи рівнянь. У цьому випадку розв'язок є (2, √(6)).

Answer 2

Звісно, давайте розглянемо кожне завдання по черзі.

1. Знайти суму цілих розв'язків нерівності \(-2x^2 + 7x - 5 \geq 0\).

Спочатку факторизуємо квадратичний термін:

\(-2x^2 + 7x - 5 = -(2x - 1)(x + 5)\)

Тепер визначимо, де ця функція нерівності невід'ємна (≥ 0). Враховуючи зміни знаку між коренями, можемо побудувати інтервали:

\((-\infty, -5] \cup [1/2, \infty)\)

Отже, сума цілих розв'язків цієї нерівності буде сумою цілих чисел на інтервалах \((-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots)\) та \((1, 2, 3, \ldots)\). Сума буде нескінченною послідовністю цілих чисел.

2. Яке з чисел є розв'язком нерівності \(-x^2 + 2x > 0\)?

Факторизуємо ліву частину:

\(-x^2 + 2x = -x(x - 2)\)

Знаходимо корені:

\(x = 0\) та \(x = 2\)

Визначаємо зміни знаку на інтервалах, що утворюються:

\((-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)\)

Тепер перевіряємо, в якому з цих інтервалів вираз \(-x^2 + 2x\) є позитивним. Виявляється, що це вірно на інтервалах \((0, 2) \cup (2, \infty)\), тобто для \(x \in (0, 2) \cup (2, \infty)\). Отже, числа \(x < 0\) і \(x > 2\) є розв'язками цієї нерівності.

3. Розв'яжіть графічно систему рівнянь \(x^2 + y^2 = 8\) та \(x^2 - y = 2\).

Для цього побудуємо графік обох функцій і визначимо точки їх перетину.

Спочатку, рівняння кола \(x^2 + y^2 = 8\) має радіус \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) та центр у початку координат.

Рівняння прямої \(x^2 - y = 2\) можна переписати як \(y = x^2 - 2\), тобто це парабола, відкрита вгору, з вершиною у точці \((0, -2)\).

Тепер побудуємо графік обох функцій і знайдемо точки їх перетину:


Точки перетину системи рівнянь видно на графіку. Знаходимо їх значення: \(A \approx (2, \sqrt{4})\) та \(B \approx (-2, -\sqrt{4})\). Отже, розв'язок системи рівнянь складається з двох точок: \(A\) та \(B\).