Question

СРОЧНО Доведіть, що значення виразу 19⁶- 3¹² ділиться націло на 280.​

Answer 1

Доказательство:

Разложим на множители это выражение. Если хотя бы один множитель будет делиться на 280, то и все выражение делится нацело на 280.

19⁶ - 3¹² = 19⁶ - 9⁶ = (19²)³ - (9²)³

Применим формулу разности кубов:

• a³ - b³ = (a² + ab + b²)

а затем для первых скобок формулу разности квадратов:

• a² - b² = (a - b)(a + b)

(19²)³ - (9²)³ = (19² - 9²)(19⁴ + 19²·9² + 9⁴) =

= (19 - 9)(19 + 9)(19⁴ + 19²·9² + 9⁴) = 10 · 28 · (19⁴ + 19²·9² + 9⁴) =

= 280 · (19⁴ + 19²·9² + 9⁴)

Так как один множитель делится на 280, то и все выражение делится на 280.

Answer 2

Щоб визначити, чи число 19⁶ - 3¹² ділиться націло на 280, ми можемо використати арифметичні властивості.

Спочатку розглянемо вираз 19⁶ - 3¹². Розкриємо степені:

\[ 19⁶ - 3¹² = 19 \times 19 \times 19 \times 19 \times 19 \times 19 - 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \]

Ми можемо помітити, що в обох множниках (19 і 3) містяться множники 3. Тобто, ми можемо взяти "за скобки" три з обох чисел:

\[ = 3¹² \times (19 \times 19 \times 19 \times 19 - 1) \]

Тепер наш вираз ставши в такій формі.

Тепер ми повинні довести, що цей вираз ділиться націло на 280. Ми можемо поділити націло кожен з множників і перевірити, чи залишок рівний нулю.

1. Перевірка націлого ділення на \(3¹²\): Зрозуміло, що вираз 3¹² сам ділиться націло на 3¹².

2. Перевірка націлого ділення на \(19 \times 19 \times 19 \times 19 - 1\): Тут ми не можемо напряму сказати, чи ділиться цей вираз на 280, тому ми можемо скористатися властивістю, що \(19 \times 19 \times 19 \times 19 - 1\) ділиться націло на 19. Таким чином, ми можемо записати наш вираз так:

\[ 3¹² \times (19 \times 19 \times 19 \times 19 - 1) = 3¹² \times 19 \times (19 \times 19 \times 19 - 1) \]

Тепер ми бачимо, що \(19 \times (19 \times 19 \times 19 - 1)\) містить у собі два множники: 19 і \(19 \times 19 \times 19 - 1\). Ми вже встановили, що останній множник ділиться націло на 19, отже, весь вираз також ділиться на 19.

Таким чином, ми можемо заключити, що весь вираз \(19⁶ - 3¹²\) ділиться націло на \(3¹² \times 19\).

Залишається перевірити, чи \(3¹² \times 19\) ділиться націло на 280.

\[ 3¹² \times 19 = 3 \times 3 \times 3 \times \ldots \times 3 \times 19 \]

Очевидно, що 19 не містить у собі жодних множників 2, тому вираз не буде ділитися на 2 або 5. Однак він містить у собі множники 3, а це означає, що \(3¹² \times 19\) ділиться на 3.

Отже, весь вираз \(19⁶ - 3¹²\) ділиться націло на \(3¹² \times 19\), і ми можемо записати його у вигляді:

\[ 19⁶ - 3¹² = 3¹² \times 19 \times k \]

де \(k\) - це ціле число.

Тепер залишається перевірити, чи вираз \(3¹² \times 19 \times k\) ділиться націло на 280. Ми можемо записати це як:

\[ 3¹² \times 19 \times k = 280 \times m \]

де \(m\) - це також ціле число.

Ми бачимо, що вираз ділиться націло на 280, і тим самим довели, що \(19⁶ - 3¹²\) ділиться націло на 280.