Question

Знайдіть десятий член арифметичної прогресії, у якої середнє арифметичне п перших членів при будь-якому п дорівнює їхній кількості.

Answer 1

$\displaystyle\bf\\\frac{a_{1} + a_{2} +a_{3}+...+ a_{n} }{n} =n\\\\\\\frac{S_{n} }{n} =n\\\\S_{n} =n^{2} \\\\S_{1} =a_{1} =1^{2} =1\\\\S_{2} =a_{1} + a_{2} =2^{2}=4\\\\a_{2} =4-a_{1} =4-1=3\\\\d=a_{2} - a_{1}=3-1=2\\\\\\a_{10} =a_{1} +9d=1+9\cdot 2=1+18=19\\\\\\Otvet \ : \ a_{10} =19$

Answer 2

Звучить складно, але це справжнє математичне завдання! Арифметична прогресія - це послідовність чисел, де кожне наступне число отримується шляхом додавання до попереднього певного фіксованого числа, яке називається різницею прогресії.

Щоб знайти десятий член арифметичної прогресії, де середнє арифметичне перших членів дорівнює їхній кількості, спочатку нам потрібно розібратися з формулою для середнього арифметичного і знайти загальний вигляд членів прогресії.

Середнє арифметичне перших п членів прогресії знаходиться за формулою: \[ \text{Середнє арифметичне} = \frac{\text{Сума перших п членів}}{п} \]

В арифметичній прогресії загальний вигляд n-го члена визначається формулою: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

де \( a_n \) - n-й член прогресії, \( a_1 \) - перший член прогресії, \( d \) - різниця прогресії.

Оскільки нам треба знайти такі числа, де середнє арифметичне попередніх членів буде дорівнювати їх кількості, ми можемо скористатися таким фактом: сума перших п членів прогресії буде дорівнювати кількості п членів помноженій на середнє арифметичне цих членів.

Отже, ми маємо рівняння: \[ \text{Сума перших п членів} = п \cdot \text{Середнє арифметичне} \]

Знаючи, що сума перших п членів арифметичної прогресії дорівнює \( \frac{п(п+1)}{2} \cdot \text{Середнє арифметичне} \), ми можемо вирішити рівняння:

\[ \frac{п(п+1)}{2} \cdot \text{Середнє арифметичне} = п \cdot \text{Середнє арифметичне} \]

Після спрощення цього рівняння можна отримати значення \( п \). Після цього, щоб знайти десятий член прогресії, можна використати формулу \( a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \), де \( a_1 \) - перший член, а \( d \) - різниця прогресії.

Це завдання потребує кількох кроків і обчислень, але математика може надати точну відповідь!