Question

Решите методом интервалов неровность x(x-5)/(2x+7)(9-x)

Answer 1

Ответ:

x ∈ (-7/2, 9)

Объяснение:

Для решения неравенства методом интервалов, необходимо найти все точки, в которых выражение в знаменателе равно нулю, а затем построить на основе этих точек интервалы, где знак выражения не меняется. Затем можно проверить знак выражения в каждом интервале, чтобы определить, где неравенство выполняется и где нет.

Итак, начнем с поиска точек, где знаменатель равен нулю. Решим уравнение:

(2x + 7)(9 - x) = 0

Первый множитель равен нулю, когда x = -7/2, а второй множитель равен нулю, когда x = 9. Итак, у нас есть две точки, которые разбивают вещественную ось на три интервала: (-бесконечность, -7/2), (-7/2, 9) и (9, +бесконечность).

Теперь проверим знак выражения в каждом интервале:

В интервале (-бесконечность, -7/2):

Выберем точку x = -10, чтобы проверить знак выражения в этом интервале:

(-10) * (-10-5) / (2*(-10)+7) * (9-(-10)) = 150/117 < 0

Таким образом, неравенство не выполняется в этом интервале.

В интервале (-7/2, 9):

Выберем точку x = 0, чтобы проверить знак выражения в этом интервале:

0 * (0-5) / (2*0+7) * (9-0) = 0 > 0

Таким образом, неравенство выполняется в этом интервале.

В интервале (9, +бесконечность):

Выберем точку x = 10, чтобы проверить знак выражения в этом интервале:

10 * (10-5) / (2*10+7) * (9-10) = -50/147 < 0

Таким образом, неравенство не выполняется в этом интервале.

Итак, мы видим, что неравенство выполняется только в интервале (-7/2, 9). Ответом будет:

x ∈ (-7/2, 9)

Answer 2

Давайте рассмотрим данную функцию и найдем интервалы её неровности. Исходная функция:

\[ f(x) = \frac{x(x-5)}{(2x+7)(9-x)} \]

Чтобы найти интервалы неровности, необходимо рассмотреть значения функции на интервалах между её корнями и точках разрыва. Для начала найдем корни и точки разрыва.

1. Нахождение корней: Уравнение в знаменателе равно нулю при \(x = -\frac{7}{2}\) и \(x = 9\).

\[ 2x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} \] \[ 9 - x = 0 \Rightarrow x = 9 \]

2. Нахождение точек разрыва: Точка разрыва возникает, когда знаменатель равен нулю, но числитель не равен нулю. Таким образом, \(2x+7 = 0\) и \(x(x-5) \neq 0\).

Решим \(2x+7 = 0\): \[ 2x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} \]

Теперь проверим, что числитель не равен нулю: \[ x(x-5) \neq 0 \] \[ -\frac{7}{2} \left(-\frac{7}{2} - 5\right) \neq 0 \] \[ \frac{7}{2} \left(\frac{17}{2}\right) \neq 0 \]

Таким образом, точка разрыва находится в \(x = -\frac{7}{2}\).

Итак, у нас есть три критические точки: \(x = -\frac{7}{2}, x = 9\) и \(x = -\frac{7}{2}\).

Теперь разделим область определения функции на интервалы, ограниченные этими точками, и проверим знаки функции на каждом интервале.

1. Интервал \( (-\infty, -\frac{7}{2}) \): Выбираем значение \(x\), например, \(x = -4\): \[ f(-4) = \frac{(-4)(-4-5)}{(2(-4)+7)(9-(-4))} \] Ответ будет положительным.

2. Интервал \( (-\frac{7}{2}, 9) \): Выбираем значение \(x\), например, \(x = 0\): \[ f(0) = \frac{(0)(0-5)}{(2(0)+7)(9-0)} \] Ответ будет отрицательным.

3. Интервал \( (9, +\infty) \): Выбираем значение \(x\), например, \(x = 10\): \[ f(10) = \frac{(10)(10-5)}{(2(10)+7)(9-10)} \] Ответ будет положительным.

Итак, функция положительна на интервалах \((- \infty, -\frac{7}{2})\) и \((9, +\infty)\), а отрицательна на интервале \((- \frac{7}{2}, 9)\). Таким образом, интервалы неровности функции: \((- \infty, -\frac{7}{2})\) и \((9, +\infty)\).