Question

Знайдіть найбільше в найменше значення функції у=sin2x+4cos2x

Answer 1

Ответ: x=0.5* arctg(1/4) +πn/2 , n∈Z

Объяснение:

y'= 2*cos2x-8*sin2x

y'=0 => 2*cos2x-8*sin2x =0

cos2x-4*sin2x =0

1-4tg2x=0

tg2x=1/4

2x= arctg(1/4) +πn , n∈Z

x=0.5* arctg(1/4) +πn/2 , n∈Z

Если 0<2х<arctg(1/4) , то y' <0

Если arctg(1/4)<2x<pi/2 , то y'>0

=> x= 0.5* arctg(1/4) - точка минимума

Answer 2

Щоб знайти найбільше та найменше значення функції \(u = \sin^2(2x) + 4\cos^2(2x)\), спочатку розглянемо складові цієї функції окремо.

1. Складова \(\sin^2(2x)\): Відомо, що \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\) для будь-якого \(\theta\). Таким чином, \(\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1\) для \(2x\). Але у вас є \(\sin^2(2x)\), тому \(\sin^2(2x)\) може бути будь-яким значенням в межах від 0 до 1.

2. Складова \(4\cos^2(2x)\): Ця частина функції також може приймати значення від 0 до 4, оскільки \(\cos^2(\theta)\) може бути від 0 до 1, і ми маємо множник 4.

Таким чином, функція \(u = \sin^2(2x) + 4\cos^2(2x)\) може приймати значення від 0 до \(1 + 4 = 5\).

Тепер розглянемо, як досягаються максимальне та мінімальне значення:

- Максимальне значення (5): Максимальне значення функції досягається, коли \(\sin^2(2x) = 1\) та \(4\cos^2(2x) = 4\). Це відбувається, коли \(\sin(2x) = 1\) і \(\cos(2x) = 1\) (оскільки \(\cos^2(2x) = 1\)). Це відповідає \(2x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), де \(k\) - це ціле число. Тобто, \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\).

- Мінімальне значення (0): Мінімальне значення досягається, коли \(\sin^2(2x) = 0\) та \(4\cos^2(2x) = 0\). Це відбувається, коли \(\sin(2x) = 0\) і \(\cos(2x) = 0\). Це відповідає \(2x = k\pi\), де \(k\) - ціле число. Тобто, \(x = \frac{k\pi}{2}\).

Отже, найбільше значення функції \(u\) - 5, досягається при \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\), та найменше значення - 0, досягається при \(x = \frac{k\pi}{2}\), де \(k\) - ціле число.