Question

В геометрической прогрессии 2; 2/3;... номер члена равного 2/729. Пожалуйста, решите​

Answer 1

...........................................

Answer 2

Конечно, рассмотрим данную геометрическую прогрессию: 2, 2/3, ...

Чтобы найти формулу общего члена \( a_n \) для геометрической прогрессии, мы можем использовать следующее соотношение:

\[ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \]

где: \( a_n \) - \( n \)-ый член прогрессии, \( a_1 \) - первый член прогрессии, \( r \) - знаменатель прогрессии (отношение любого члена к предыдущему).

В данном случае, у нас дано, что \( a_1 = 2 \) и знаменатель \( r = \frac{2/3}{2} = \frac{1}{3} \) (отношение любого члена к предыдущему).

Теперь, если мы хотим найти \( a_{n} \), где \( n = \frac{2}{729} \), то используем формулу:

\[ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \] \[ a_{\frac{2}{729}} = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{\left(\frac{2}{729} - 1\right)} \]

Вычислим показатель степени: \[ \frac{2}{729} - 1 = \frac{2}{729} - \frac{729}{729} = \frac{2 - 729}{729} = -\frac{727}{729} \]

Теперь подставим этот результат в формулу: \[ a_{\frac{2}{729}} = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{727}{729}} \]

Для того чтобы упростить выражение в степени, можем использовать то, что \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-x} = \left(\frac{3}{1}\right)^{x} = 3^x \): \[ a_{\frac{2}{729}} = 2 \cdot 3^{\frac{727}{729}} \]

Таким образом, \( \frac{2}{729} \)-ый член данной прогрессии равен \( 2 \cdot 3^{\frac{727}{729}} \).