Question

Розв'яжіть рівняння √4x+1+√x−2=3−log2(x−1)

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\sqrt{4x+1}+\sqrt{x-2}=3-\log_2(x-1)$

Введем функции $f(x)=\sqrt{4x+1}+\sqrt{x-2}$ и $g(x)=3-\log_2(x-1)$.

Заметим, что $f(x)$ есть возрастающая функция как сумма двух возрастающих функций $k(x)=\sqrt{4x+1}$ и $m(x)=\sqrt{x-2}$.

В свою очередь функция $g(x)$, напротив, убывающая функция.

Тогда уравнение вида $f(x)=g(x)$ может иметь не более одного решения.

Это решение угадывается и есть $x=2$.

Действительно:

$\sqrt{4\times2+1}+\sqrt{2-2}=3-\log_2(2-1)\\3+0=3-0$

$3=3$, верно.

Уравнение решено!

Answer 2

Давайте розглянемо дане рівняння та спробуємо розв'язати його.

Рівняння: \[ \sqrt{4x + 1} + \sqrt{x - 2} = 3 - \log_2(x - 1) \]

Для спрощення обчислень, давайте позбавимося від коренів. Підносимо обидві сторони рівняння до квадрату, щоб позбавитися від коренів:

\[ (\sqrt{4x + 1} + \sqrt{x - 2})^2 = (3 - \log_2(x - 1))^2 \]

Розгортаємо ліву та праву сторону:

\[ (4x + 1) + 2\sqrt{(4x + 1)(x - 2)} + (x - 2) = 9 - 6\log_2(x - 1) + (\log_2(x - 1))^2 \]

Тепер групуємо подібні члени та переносимо все на одну сторону:

\[ 6\log_2(x - 1) - (\log_2(x - 1))^2 - 2\sqrt{(4x + 1)(x - 2)} = 8x - 12 \]

Тепер наша мета – розв'язати це квадратне рівняння для \( \log_2(x - 1) \):

\[ (\log_2(x - 1))^2 - 6\log_2(x - 1) + 2\sqrt{(4x + 1)(x - 2)} + 8x - 12 = 0 \]

Тут можливо скористатися підстановкою \( u = \log_2(x - 1) \) для спрощення обчислень. Після підстановки ми отримаємо квадратне рівняння відносно \( u \):

\[ u^2 - 6u + 2\sqrt{(4e^{u} + 1)(e^{u} - 2)} + 8(e^{u} - 11) = 0 \]

Це квадратне рівняння можна розв'язати стандартними методами для знаходження коренів. Після знаходження \( u \), можна відновити значення \( x \):

\[ \log_2(x - 1) = u \]

\[ x - 1 = 2^u \]

\[ x = 2^u + 1 \]

Отже, розв'язавши рівняння для \( x \), ви отримаєте значення \( x \), що задовольняє вихідне рівняння.