Question

Знайти диференціал x^2dx/((x^2-4)(x+1))

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int\limits {\frac{x^2}{(x-2)(x+2)(x+1)} } \, dx=\frac{1}{3}ln|x-2|+ln|x+2|-\frac{1}{3}ln|x+1|+C$

Объяснение:

Найти интеграл:

$\displaystyle \int\limits {\frac{x^2}{(x^2-4)(x+1)} } \, dx$

Перепишем интеграл в виде:

$\displaystyle \int\limits {\frac{x^2}{(x-2)(x+2)(x+1)} } \, dx$

Так как в знаменателе каждый из двухчленов в первой степени, то данную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей:

$></p><p>Освободимся от знаменателя:</p><p><img src=$

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях.

Получим систему:

$\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases}A+C+B=1 \\3A-B=0 \\2A-2B-4C=0 \\ \end{cases}\end{equation*}$

3A - B = 0   ⇒   B = 3A

Подставим В = 3А в первое и третье уравнение:

$\begin{equation*} \begin{cases}A+C+3A=1 \\2A-6A-4C=0 \end{cases}\end{equation*}$      

$+\begin{equation*} \begin{cases}4A+C=1 \;\;\;\;\; \\-4A-4C=0 \end{cases}\end{equation*}$

$\displaystyle -3C=1\\\\C=-\frac{1}{3}$

$\displaystyle \Rightarrow A=\frac{1}{3},\;\;\;B=1$

Получим:      

$></p><p>Теперь найдем интеграл:</p><p><img src=$

#SPJ1

Answer 2

Звісно, давайте знайдемо диференціал виразу \( \frac{x^2}{(x^2-4)(x+1)} \).

Спочатку розкладемо знаменник у вигляді добутку:

\[ (x^2-4)(x+1) = (x-2)(x+2)(x+1) \]

Тепер можемо записати вихідний вираз як:

\[ \frac{x^2}{(x^2-4)(x+1)} = \frac{x^2}{(x-2)(x+2)(x+1)} \]

Для знаходження диференціалу використаємо правило диференціювання часткових дробів та ланцюгове правило.

1. Розкладемо вихідний вираз на часткові дроби:

\[ \frac{x^2}{(x-2)(x+2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+1} \]

2. Помножимо обидві сторони на знаменник вихідного виразу, щоб позбутися дробів:

\[ x^2 = A(x+2)(x+1) + B(x-2)(x+1) + C(x-2)(x+2) \]

3. Розв'яжемо для \( A, B \) і \( C \), покладаючи інші частини рівняння рівними нулю або обираючи зручні значення для \( x \).

Після розв'язання отримаємо значення коефіцієнтів \( A, B \) і \( C \).

4. Тепер можемо записати вихідний вираз у вигляді суми часткових дробів:

\[ \frac{x^2}{(x-2)(x+2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+1} \]

5. Знайдемо диференціал кожної з часткових дробів і складемо їх:

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{(x-2)(x+2)(x+1)} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{A}{x-2} \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{B}{x+2} \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{C}{x+1} \right) \]

6. Здійснимо обчислення та скоротимо вирази, якщо це можливо, отримаємо диференціал вихідного виразу.

Цей підхід дозволяє знайти диференціал складного виразу, що містить часткові дроби.