Question

Докажите что 3^n больше n^3 для любого натурального n

Answer 1

Ответ:

Нельзя доказать ложь

Объяснение:

Это неправда, так как при n = 3:   $3^3 > 3^3$, но это ложь, а ее нельзя доказать

Answer 2

Для любого натурального числа n мы можем провести доказательство данной неравенства по индукции.

1. База индукции (n = 1): Подставляя n = 1 в неравенство, получаем: 3^1 > 1^3 3 > 1 Неравенство выполняется при n = 1.

2. Предположение индукции: Предположим, что неравенство выполняется для некоторого k, т.е.: 3^k > k^3

3. Индукционный переход: Докажем, что неравенство выполняется для k + 1. Подставим k + 1 в неравенство: 3^(k+1) > (k + 1)^3

Раскроем степень 3 и (k + 1)^3: 3^k * 3 > k^3 + 3k^2 + 3k + 1

По предположению индукции, 3^k > k^3. Подставим это в неравенство: k^3 * 3 > k^3 + 3k^2 + 3k + 1

Теперь упростим неравенство: 3k^3 - k^3 - 3k^2 - 3k - 1 > 0 2k^3 - 3k^2 - 3k - 1 > 0

Разложим на множители: (2k + 1)(k^2 - 2k - 1) > 0

Исследуем каждый множитель отдельно: - Первый множитель (2k + 1) всегда положительный, так как для любого натурального k он будет больше нуля. - Второй множитель (k^2 - 2k - 1) является квадратным трехчленом, который при увеличении k принимает отрицательные и положительные значения. Мы знаем, что это неравенство выполняется для k = 1 (база индукции).

Таким образом, при k > 1 второй множитель будет отрицательным и их произведение будет положительным.

Таким образом, мы доказали неравенство для любого натурального n: 3^n > n^3.