Question

Обчисліть площу фігури обмежену лініями y = 4 - x2 і y = -x + 2

Answer 1

Ответ:

Объясненычислим площадь фигуры ограниченной линиями y = 4 - x² и у = x + 2.

Парабола лежит поверх прямой от -2 и до 1.

4 - x^2 - (x + 2) = 4 - x^2 - x - 2 = -x^2 - x + 2;  

S = (от -2 до 1) ∫(-x^2 - x + 2) dx = (от -2 до 1) (-x^3/3 - x^2/2 + 2 * x)  = (от -2 до 1) (-1/3 * x^3 - 1/2 * x^2 + 2 * x)  = (-1/3 * 1^3 - 1/2 * 1^2 + 2 * 1) - (-1/3 * (-2)^3 - 1/2 * (-2)^2 + 2 * (-2)) = (-1/3 - 1/2 + 2) - (-1/3 * (-8) - 1/2 * 4 - 4) = -1/3 - 1/2 + 2 + 1/3 * (-8) + 4/2 + 4 = -1/3 - 1/2 + 8 - 8/3 = -9/3 + 8 - 1/2 = -3 + 8 - 1/2 = 5 - 1/2 = 4.5.ие:

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої двома кривими \(y = 4 - x^2\) та \(y = -x^2 + 2\), потрібно знайти точки їхнього перетину і обчислити відповідні інтеграли.

Спочатку знайдемо точки перетину обох кривих, розв'язавши рівняння \(4 - x^2 = -x^2 + 2\):

\[ 4 - x^2 + x^2 - 2 = 0 \]

Спростимо:

\[ 2 - x^2 = 0 \]

Звідси отримуємо \(x^2 = 2\), тобто \(x = \pm \sqrt{2}\).

Тепер обчислимо площу між цими двома кривими від \(-\sqrt{2}\) до \(\sqrt{2}\). Площу можна знайти за допомогою інтегралу відповідної різниці функцій. Формула для знаходження площі між двома функціями \(f(x)\) та \(g(x)\) від \(a\) до \(b\) виглядає наступним чином:

\[S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx\]

У нашому випадку \(f(x) = 4 - x^2\) та \(g(x) = -x^2 + 2\). Таким чином, ми можемо записати рівняння для площі:

\[S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} |(4 - x^2) - (-x^2 + 2)| \, dx\]

Спростимо вираз під знаком модуля:

\[S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} |6 - 2x^2| \, dx\]

Розділимо інтеграл на два окремих інтеграла для легшого обчислення:

\[S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (6 - 2x^2) \, dx - \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-6 + 2x^2) \, dx\]

Тепер обчислимо ці інтеграли:

\[S = \left[ 6x - \frac{2}{3}x^3 \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - \left[ -6x + \frac{2}{3}x^3 \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\]

Підставимо верхню та нижню межі і виконаємо обчислення:

\[S = \left(6\sqrt{2} - \frac{2}{3}(2\sqrt{2})^3\right) - \left(6(-\sqrt{2}) + \frac{2}{3}(-2\sqrt{2})^3\right) - \left(6\sqrt{2} - \frac{2}{3}(2\sqrt{2})^3\right) + \left(6(-\sqrt{2}) + \frac{2}{3}(-2\sqrt{2})^3\right)\]

Після обчислень отримаємо площу фігури, обмеженої заданими кривими.