Question

Решите систему неравенств sin>1/2 и cos>1/2

Answer 1

Ответ:

Ответ в фото выше......

Answer 2

Давайте решим систему неравенств \(\sin(x) > \frac{1}{2}\) и \(\cos(x) > \frac{1}{2}\). Обратите внимание, что решениями будут значения \(x\), при которых выполняются оба неравенства.

Начнем с первого неравенства:

\[\sin(x) > \frac{1}{2}\]

Для нахождения решений этого неравенства, мы можем воспользоваться тем, что синус принимает значения от -1 до 1. Таким образом, решениями будут углы, для которых синус больше \(\frac{1}{2}\). Это происходит в первой и во второй четвертях угловой окружности. Таким образом, для первого неравенства имеем:

\[x \in \left( -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k \right), \quad k \in \mathbb{Z}\]

Теперь перейдем ко второму неравенству:

\[\cos(x) > \frac{1}{2}\]

Аналогично, косинус принимает значения от -1 до 1. Решениями будут углы, для которых косинус больше \(\frac{1}{2}\). Это происходит в первой и в четвертой четвертях угловой окружности. Таким образом, для второго неравенства имеем:

\[x \in \left( 0 + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right) \cup \left( \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, 2\pi k \right), \quad k \in \mathbb{Z}\]

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Для этого найдем общие интервалы:

\[x \in \left( \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right) \cup \left( \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, 2\pi k \right), \quad k \in \mathbb{Z}\]

Это и есть общее решение системы неравенств.