Question

Розв'яжіть задачу: 1) Знайдіть суму перших п'ятнадцяти членіф арифметичної прогресії (), якщо а8= 5. 2) Знайдіть суму перших дев'ятнадцяти членів арифметичної прогресії (), якщо а10=9. Пожалуйста с детальным решением и без копирования иначе жалобу кину

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

По формулам:

n-го члена aₙ=a₁+(n-1)d;

сумме n первых членов Sₙ=(2a₁+(n-1)d)/2 ·n

1) a₈=5

a₈=a₁+(8-1)d

5=a₁+7d

a₁=5-7d

S₁₅=(2a₁+(15-1)d)/2 ·15=(2(5-7d)+14d)/2 ·15=(5-7d+7d)·15=5·15=75

Ответ: 75.

2) a₁₀=9

a₁₀=a₁+(10-1)d

9=a₁+9d

a₁=9-9d

a₁=9(1-d)

S₁₉=(2a₁+(19-1)d)/2 ·19=(2·9(1-d)+18d)/2 ·19=9(1-d+d)·19=171

Ответ: 171.

Answer 2

Звісно, давайте розв'яжемо задачу.

1) Знайдемо суму перших п'ятнадцяти членів арифметичної прогресії. Арифметична прогресія має загальний вигляд:

\[a_n = a_1 + (n-1)d,\]

де \(a_n\) - n-тий член прогресії, \(a_1\) - перший член, \(n\) - номер члена, \(d\) - різниця між сусідніми членами.

Маємо \(a_8 = 5\), а отже:

\[a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d = 5.\]

Додатково дано, що це 8-й член прогресії.

2) Знайдемо суму перших дев'ятнадцяти членів арифметичної прогресії, використовуючи подібний підхід. Маємо \(a_{10} = 9\), тобто:

\[a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d = 9.\]

Тепер розв'яжемо систему рівнянь для знаходження \(a_1\) та \(d\):

Система для 1):

\[\begin{cases} a_1 + 7d = 5, \\ a_1 + 9d = 9. \end{cases}\]

Система для 2):

\[\begin{cases} a_1 + 9d = 9, \\ a_1 + 18d = ? \end{cases}\]

Розв'яжемо систему рівнянь для 1):

Віднімемо перше рівняння від другого:

\[(a_1 + 9d) - (a_1 + 7d) = 9 - 5,\]

що спрощується до:

\[2d = 4.\]

Отже, \(d = 2\). Підставимо значення \(d\) в одне з рівнянь для 1), наприклад, в перше:

\[a_1 + 7(2) = 5,\]

\[a_1 + 14 = 5,\]

\[a_1 = -9.\]

Тепер ми знаємо значення \(a_1\) та \(d\). Тепер можемо знайти суму перших 15 членів арифметичної прогресії для 1):

\[S_{15} = \frac{n}{2}(a_1 + a_{15}) = \frac{15}{2}(-9 + a_{15}).\]

Аналогічно для 2):

\[S_{19} = \frac{n}{2}(a_1 + a_{19}) = \frac{19}{2}(-9 + a_{19}).\]

Тепер залишається знайти \(a_{15}\) та \(a_{19}\).

Для 1):

\[a_{15} = a_1 + 14d = -9 + 14(2) = 19.\]

Для 2):

\[a_{19} = a_1 + 18d = -9 + 18(2) = 27.\]

Тепер можемо підставити ці значення в формули для сум:

Для 1):

\[S_{15} = \frac{15}{2}(-9 + 19) = \frac{15}{2}(10) = 75.\]

Для 2):

\[S_{19} = \frac{19}{2}(-9 + 27) = \frac{19}{2}(18) = 171.\]

Отже, сума перших 15 членів арифметичної прогресії для першої задачі дорівнює 75, а сума перших 19 членів для другої задачі дорівнює 171.