Question

Гіпотенуза прямокутного трикутника на 2см більша за один катет і на 4см більша за другий катет. Знайдіть катети трикутника.

Answer 1

Ответ:

x-гипотенуза

(х-2)-катет

(х-4)-катет

по теореме пифагора

х²=(х-2)²+(х-4)²

х²=х²-4х+4+х²-8х+16

х²-12х+20=0

Д=144-80=64   √Д=8

х1=(12-8)/2=2 не удовлетворяет условию задачи

х2=(12+8)/2=10

гипотенуза=10см

катет=10-2=8см

катет=10-4=6см

Объяснение:

Answer 2

Нехай один катет трикутника буде \(x\) см, а інший \(y\) см. Згідно умові задачі, гіпотенуза \(c\) на 2 см більша за один катет і на 4 см більша за другий катет.

Отже, ми можемо записати рівняння для гіпотенузи за допомогою теореми Піфагора:

\[c^2 = x^2 + y^2\]

За умовою задачі, ми також маємо два інші рівняння:

\[c = x + 2\]

\[c = y + 4\]

Тепер ми можемо використати ці три рівняння для знаходження значень \(x\) та \(y\). Замінимо значення \(c\) у двох інших рівняннях:

\[x + 2 = y + 4\]

Це рівняння дає нам вираз для одного з катетів відносно іншого:

\[x = y + 2\]

Тепер підставимо це значення в перше рівняння та розв'яжемо його:

\[(y + 2)^2 + y^2 = c^2\]

Розгортаємо та спрощуємо:

\[y^2 + 4y + 4 + y^2 = c^2\]

\[2y^2 + 4y + 4 = c^2\]

Тепер підставимо значення \(c = y + 4\) і отримаємо:

\[2y^2 + 4y + 4 = (y + 4)^2\]

Розгортаємо та спрощуємо:

\[2y^2 + 4y + 4 = y^2 + 8y + 16\]

Приберемо \(y^2\) з обох сторін та спростимо:

\[y^2 - 4y - 12 = 0\]

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння. Можна використовувати формулу квадратного рівняння або факторизацію. Я використаю факторизацію:

\[(y - 6)(y + 2) = 0\]

Звідси маємо два можливих значення \(y\): \(y = 6\) або \(y = -2\). Враховуючи, що сторона трикутника не може мати від'ємну довжину, відкидаємо \(y = -2\).

Отже, \(y = 6\) см. Тепер використаємо це значення для знаходження \(x\):

\[x = y + 2 = 6 + 2 = 8\]

Отже, катети трикутника дорівнюють \(8\) см та \(6\) см.