Question

Найти значение выражения ∛(7+√50) +∛(7-√50)

Answer 1

Обозначим искомое значение:

$A=\sqrt[3]{7+\sqrt{50} } +\sqrt[3]{7-\sqrt{50} }$

Возведем обе части в куб, используя несколько преобразованную формулу куба суммы:

$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$

Получим:

$A^3=\left(\sqrt[3]{7+\sqrt{50} } +\sqrt[3]{7-\sqrt{50} }\right)^3=\left(\sqrt[3]{7+\sqrt{50}}\right)^3 +\left(\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}\right)^3+$

$+3\cdot \sqrt[3]{7+\sqrt{50}}\cdot \sqrt[3]{7-\sqrt{50}}\cdot\left(\sqrt[3]{7+\sqrt{50}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}\right)$

Заметим, что одна из скобок в точности соответствует искомому выражению $A$:

$A^3=\left(\sqrt[3]{7+\sqrt{50}}\right)^3 +\left(\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}\right)^3+3\cdot \sqrt[3]{7+\sqrt{50}}\cdot \sqrt[3]{7-\sqrt{50}}\cdot A$

Выполняем остальные преобразования:

$A^3=7+\sqrt{50} +7-\sqrt{50}+3\cdot \sqrt[3]{\left(7+\sqrt{50}\right)\left(7-\sqrt{50}\right)}\cdot A$

$A^3=14+3\cdot \sqrt[3]{7^2-\left(\sqrt{50}\right)^2}\cdot A$

$A^3=14+3\cdot \sqrt[3]{49-50}\cdot A$

$A^3=14-3A$

Получившееся уравнение можно решить, например, рассмотрев пару функций $y(A)=A^3$ и $y(A)=14-3A$. Так как первая из них возрастает, а вторая - убывает, то записанное уравнение не может иметь больше одного корня. Этот корень легко угадывается: $A=2$.

Можно выполнить разложение на множители:

$A^3+3A-14=0$

$A^3-2A^2+2A^2-4A+7A-14=0$

$A^2(A-2)+2A(A-2)+7(A-2)=0$

$(A-2)(A^2+2A+7)=0$

$A-2=0\Rightarrow A=2$

$A^2+2A+7=0\Rightarrow D_1=1^2-1\cdot7 < 0\Rightarrow A\notin \mathbb{R}$

Вновь получаем тот же результат: $A=2$.

Значит:

$\sqrt[3]{7+\sqrt{50} } +\sqrt[3]{7-\sqrt{50} }=2$

Ответ: 2

Answer 2

Давайте разберемся с выражением \(\sqrt[3]{7 + \sqrt{50}} + \sqrt[3]{7 - \sqrt{50}}\).

1. Начнем с выражения под корнем. \(50\) может быть разложено на множители как \(25 \times 2\), и из этого следует, что \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}\).

2. Подставим это значение в наше исходное выражение:

\[ \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}} \]

3. Теперь, давайте проведем алгебраические преобразования. Пусть \(a = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}}\) и \(b = \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}}\).

Тогда, мы хотим найти значение выражения \(a + b\).

4. Представим, что \(\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}}\) может быть записано в виде \(\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}\) для некоторых \(m\) и \(n\).

Тогда:

\[ a = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n} \]

Возводим в куб и получаем:

\[ 7 + 5\sqrt{2} = m + 3\sqrt[3]{m^2n} + 3\sqrt[3]{mn^2} + n \]

Теперь, сравниваем коэффициенты при подобных слагаемых:

\[ m + n = 7 \quad \text{(1)} \]

\[ 3\sqrt[3]{m^2n} = 5 \quad \text{(2)} \]

\[ 3\sqrt[3]{mn^2} = 0 \quad \text{(3)} \]

5. Решаем систему уравнений (1), (2), и (3). Из уравнения (3) следует, что \(m = 0\) или \(n = 0\). Но \(m + n = 7\), следовательно, \(m\) и \(n\) не могут быть оба равны нулю. Таким образом, допустимо предположить, что \(m = 0\).

6. Теперь, подставим \(m = 0\) в уравнения (1) и (2):

\[ n = 7 \quad \text{(1)} \]

\[ 3\sqrt[3]{0 \times 7} = 5 \quad \text{(2)} \]

Отсюда, \(n = 7\) и уравнение (2) соблюдается. Таким образом, \(m = 0\) и \(n = 7\).

7. Теперь, мы знаем, что:

\[ a = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{7} \]

8. Аналогично для \(b\):

\[ b = \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{7} \]

9. Так что \(a + b = (\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{7}) + (\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{7}) = 2\sqrt[3]{7}\).

Таким образом, значение выражения \(\sqrt[3]{7 + \sqrt{50}} + \sqrt[3]{7 - \sqrt{50}}\) равно \(2\sqrt[3]{7}\).