Question

С РЕШЕНИЕМ Уравнение x4+ax2+b=0 имеет ровно три корня. Сколько корней имеет уравнение x4+bx2+a=0?

Answer 1

Легко заметить, что оба уравнения имеют корни x=±1

Уравнение $x^4+ax^2+b=0$

имеет корни:  x=±1

значит

$1+a+b=0$     ⇒    $b=-a-1$

Уравнение принимает вид:

$x^4+ax^2-a-1=0$

$(x^4-1)+a(x^2-1)=0$

$(x^2-1)(x^2+1+a)=0$

Третий корень только

$x_{3}=0$

при $a=-1$

Тогда

$b=0$

Уравнение $x^4+bx^2+a=0$

при $a=-1$    и  $b=0$

принимает вид:

$x^4-1=0$

и имеет два корня x=±1

Answer 2

Ответ:

2 корня

Объяснение:

x⁴+ax²+b=0

Данное уравнение является биквадратным и должно иметь 4 корня. По условию, оно имеет три корня, т.е. три действительных корня.  При b=0 это возможно.

Покажем это:

Замена: x²=y

y²+ay+b=0

При b=0  y²+ay=0

                y(y+a)=0

                y=0   или  y+a=0

                                  y=-a

Обратная замена: y=x²

                x²=0  или   x²= -a

                x₁=0           x₂=√-a      x₃=-√-a

Итак, уравнение x⁴+ax²+b=0 имеет три корня

При b=0 уравнение x⁴+bx²+a=0  при b=0 преобразуется в уравнение

x⁴+a=0

x⁴= -a

$x_1=\sqrt[4]{-a},\; \;\; \; x_2=-\sqrt[4]{-a}$

Получаем, что это уравнение имеет два корня

Answer 3

Предположим, что уравнение \(x^4 + ax^2 + b = 0\) имеет три корня. Поскольку это квадратное уравнение относительно \(x^2\), то мы можем записать его в следующем виде:

\[x^2 = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}\]

Таким образом, у нас есть два корня для \(x^2\), и каждый из них может дать два корня для \(x\) (положительный и отрицательный). Таким образом, уравнение \(x^4 + ax^2 + b = 0\) имеет четыре корня для \(x\).

Теперь рассмотрим уравнение \(x^4 + bx^2 + a = 0\). Мы видим, что здесь коэффициенты \(b\) и \(a\) поменялись местами. Однако это не влияет на количество корней уравнения, так как уравнение остается квадратным относительно \(x^2\).

Таким образом, уравнение \(x^4 + bx^2 + a = 0\) также имеет четыре корня для \(x\).