Question

Определите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии (bn),в которой b4=108, b7=2916

Answer 1

Ответ:

13120

Объяснение:

Пусть b1 - первый член геом. прогрессии, q - её знаменатель.

b4 = b1 * q^3 = 108

b7 = b1 * q^6 = 2916

Подставляя первое выражение во второе, получим:

b1 * q^3 * q^3 = 108 * q^3 = 2916 => q^3 = 27 => q = 3

Из первого уравнения (или из второго, без разницы), найдем b1:

b1 = 108/q^3 = 108/27 = 4

Сумма первых n членов геом. прогрессии определяется формулой

Sn = b1*(q^n - 1) / (q - 1)

S8 = b1*(q^8 - 1) / (q - 1) = 4 * (3^8 - 1) / 2 = 2 * 6560 = 13120

Answer 2

Для определения суммы первых восьми членов геометрической прогрессии сначала нужно определить её общий вид. Геометрическая прогрессия задается формулой:

\[b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\]

где \(b_n\) - n-й член прогрессии, \(b_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии.

У нас даны \(b_4 = 108\) и \(b_7 = 2916\). Для начала найдем первый член \(b_1\) и знаменатель \(q\).

Для \(b_4\): \[b_4 = b_1 \cdot q^{(4-1)} = 108\]

Для \(b_7\): \[b_7 = b_1 \cdot q^{(7-1)} = 2916\]

Теперь, разделив уравнения, мы получим:

\[\frac{b_7}{b_4} = \frac{b_1 \cdot q^{(7-1)}}{b_1 \cdot q^{(4-1)}}\]

\[\frac{2916}{108} = q^{(7-4)}\]

\[\frac{2916}{108} = q^3\]

\[q^3 = 27\]

\[q = 3\]

Теперь мы можем использовать найденные значения для нахождения первого члена прогрессии (\(b_1\)):

\[b_4 = b_1 \cdot 3^{(4-1)}\]

\[108 = b_1 \cdot 3^3\]

\[108 = b_1 \cdot 27\]

\[b_1 = \frac{108}{27} = 4\]

Таким образом, у нас есть первый член \(b_1 = 4\) и знаменатель \(q = 3\). Теперь мы можем найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии. Формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}\]

В данном случае \(n = 8\):

\[S_8 = \frac{4 \cdot (3^8 - 1)}{3 - 1}\]

\[S_8 = \frac{4 \cdot (6561 - 1)}{2}\]

\[S_8 = \frac{4 \cdot 6560}{2}\]

\[S_8 = 2 \cdot 6560\]

\[S_8 = 13120\]

Таким образом, сумма первых восьми членов данной геометрической прогрессии равна 13120.