Question

Хорди АВ і СР перетинаються в точці О, СР = 12см, АО = 9см, ОВ = 4см. Знайти СО і ОР.

Answer 1

Ответ:

6 см, 6 см

Объяснение:

• Если хорды пересекаются, то произведение отрезков одной из двух хорд равно произведению отрезков другой хорды.

⇒ AO · OB = CO · OP

4 · 9 = CO · OP

CO · OP = 36 см

CP = CO + OP = 12 см

Пусть x см - CO, тогда y см - OP.

Составляем систему уравнений и решаем её методом подстановки:

$\begin{cases} x + y= 12\\x\cdot y = 36\end {array}$

$\begin{cases} y= 12-x\\x\cdot y = 36\end {array}$

$x \cdot (12 -x) = 36$

$12x - x^2 = 36$

$-x^2 +12x - 36 = 0 |\cdot (-1)$

$x^2 - 12x + 36 = 0$

• $D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c$ - формула дискриминанта

$a = 1, b = - 12, c = 36$

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 - 144 = 0$, 1 корень (то есть уравнение имеет 1 корень)

• $x = \dfrac{-b}{2a}$

$x = \dfrac{12}{2} = 6$

$6 + y = 12$

$y = 12 - 6$

$y = 6$

Итак, CO = OP = 6 см

Answer 2

Для решения этой задачи используем теорему косинусов, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C),\]

где \(c\) - длина стороны противолежащей углу \(C\) в треугольнике, а \(a\) и \(b\) - длины остальных двух сторон.

В данном случае, пусть \(CO\) будет стороной \(c\), \(AO\) - стороной \(a\) и \(AC\) - стороной \(b\). Тогда имеем:

\[CO^2 = AO^2 + AC^2 - 2 \cdot AO \cdot AC \cdot \cos(\angle AOC).\]

Длины сторон даны: \(AO = 9 \ \text{см}\), \(AC = 12 \ \text{см}\). Нам нужно найти угол \(\angle AOC\) для вычисления косинуса.

Мы знаем, что треугольник \(ABC\) (где \(B\) - вершина между \(AO\) и \(CO\)) является прямоугольным треугольником, так как \(AC\) - это диаметр окружности, а угол в полукруге прямой. Таким образом, \(\angle AOC = 90^\circ\).

Теперь подставим значения в формулу:

\[CO^2 = 9^2 + 12^2 - 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos(90^\circ).\]

Так как \(\cos(90^\circ) = 0\), формула упрощается:

\[CO^2 = 81 + 144 - 0.\]

\[CO^2 = 225.\]

Отсюда находим \(CO\):

\[CO = \sqrt{225} = 15 \ \text{см}.\]

Теперь, чтобы найти длину отрезка \(OP\), который является высотой треугольника \(AOC\) из вершины \(O\) на гипотенузу \(AC\), можно воспользоваться подобием треугольников. Треугольник \(AOC\) подобен треугольнику \(AOP\), и отношение сторон в них одинаково:

\[\frac{OP}{CO} = \frac{AO}{AC}.\]

Подставим известные значения:

\[\frac{OP}{15} = \frac{9}{12}.\]

Решаем уравнение:

\[OP = \frac{9}{12} \cdot 15 = \frac{3}{4} \cdot 15 = \frac{45}{4} \ \text{см}.\]

Таким образом, длина \(CO\) равна \(15 \ \text{см}\), а длина \(OP\) равна \(\frac{45}{4} \ \text{см}\).