Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3−12x^2+36x+5 на промежутке [1; 4]

Answer 1

Объяснение:

$\displaystyle f(x)=x^3-12x^2+36x+5;\;\;\;\;\;[1;4]$

Найдем значение функции на концах промежутка:

$\displaystyle f(1)=1^3-12*1^2+36*1+5=1-12+36+5=30\\\\f(4)=4^3-12*4^2+36*4+5=64-192+144+5=21$

Найдем экстремумы функции.

Найдем производную:

$\displaystyle f'(x)=3x^2-12*2x+36=3x^2-24x+36=3(x^2-8x+12)$

Приравняем к 0 и найдем корни:

$\displaystyle 3(x^2-8x+12)=0\\\\x_{1,2}=\frac{8\;^+_-\;\sqrt{64-4*1*12} }{2}=\frac{8\;^+_-\;4}{2}\\\\x_1=6;\;\;\;\;\;x_2=2$

Отметим точки на числовой оси и определим знаки производной на промежутках:

$\displaystyle +++++[2]-----[6]+++++$

К данному промежутку точка х=6 не относится.

В точке х=2 производная меняет знак с "+" на "-". Следовательно в данной точке - max.

Найдем значение функции при х=2:

$\displaystyle f(2)=2^3-12*2^2+36*2+5=8-48+72+5=37$

Имеем:

$\displaystyle f(1)=30;\;\;\;\;\;f(4) = 21;\;\;\;\;\;f(2) = 37$

f(x) наиб. = f(2) = 37

f(x) наим. = f(4) = 21

Answer 2

Объяснение:

также пишу алгоритм нахождения:

1. Найти ОДЗ если нужно

2. Найти производную

3. Приравнять производную к 0 и найти критические точки

4. Выяснить какие из этих точек принадлежат промежутку

5. Вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка

6. Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее

Answer 3

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x) = x^3 - 12x^2 + 36x + 5\) на заданном промежутке \([1; 4]\), следует выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем критические точки

1. Найдем производную функции: \[ f'(x) = 3x^2 - 24x + 36 \]

2. Решим уравнение \(f'(x) = 0\) для поиска критических точек: \[ 3x^2 - 24x + 36 = 0 \]

Решив это квадратное уравнение, получим значения \(x\), которые являются критическими точками.

Шаг 2: Исследование на экстремумы

1. Найдем значения второй производной: \[ f''(x) = 6x - 24 \]

2. Подставим найденные критические точки во вторую производную и определим их тип: - Если \(f''(x) > 0\), то точка является локальным минимумом. - Если \(f''(x) < 0\), то точка является локальным максимумом.

Шаг 3: Подставим концы интервала

1. Вычислим значения функции в точках \(x = 1\) и \(x = 4\). - \(f(1)\) - \(f(4)\)

Шаг 4: Определение наибольшего и наименьшего значения

1. Сравним все найденные значения: - Наименьшее значение будет либо в одной из критических точек, либо в точке конца интервала. - Наибольшее значение также может быть в одной из критических точек или на конце интервала.

Выполнение этих шагов позволит найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке. Пожалуйста, выполните вычисления для получения конкретных численных значений.