Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций 5-х^2 и y = 3 – x .

Answer 1

Ответ:

$y=5-x^2\ ,\ \ y=3-x$

Точки пересечения параболы и прямой:

$\displaystyle 5-x^2=3-x\ \ ,\ \ \ x^2-x-2=0\ \ ,\ \ x_1=-1\ ,\ x_2=2\ \ (teorema\ Vieta)\\\\S=\int\limits_{-1}^2\, (\, (5-x^2)-(3-x)\, )\, dx=\int\limits_{-1}^2\, (2-x^2+x)\, dx=\Big(2x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\Big)\Big|_{-1}^2=\\\\\\=4-\frac{8}{3}+2-\Big(-2+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\ \Big)=6+2-3-\frac{1}{2}=4,5$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 5 - x^2 и y = 3 - x, мы должны сначала найти точки пересечения этих двух графиков. Приравняем два уравнения друг к другу:

5 - x^2 = 3 - x

Перенесем все члены уравнения влево:

x^2 - x - 2 = 0

Факторизуем это квадратное уравнение:

(x - 2)(x + 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 2 и x = -1.

Теперь мы можем найти значения y, подставив эти значения x в одно из уравнений:

Для x = 2: y = 3 - x = 3 - 2 = 1

Для x = -1: y = 3 - x = 3 - (-1) = 4

Теперь у нас есть две точки пересечения: (2, 1) и (-1, 4).

Чтобы найти площадь между графиками, мы должны взять определенный интеграл y2 - y1 по диапазону переменной x от -1 до 2:

Площадь = ∫ (5 - x^2) - (3 - x) dx, от x = -1 до x = 2

= ∫ (5 - x^2 - 3 + x) dx, от x = -1 до x = 2

= ∫ (2 - x^2 + x) dx, от x = -1 до x = 2

= [2x - (x^3 / 3) + (x^2 / 2)] от x = -1 до x = 2

= [2(2) - (2^3 / 3) + (2^2 / 2)] - [2(-1) - ((-1)^3 / 3) + ((-1)^2 / 2)]

= [4 - (8 / 3) + 2] - [-2 - (1 / 3) + (1 / 2)]

= (12 / 3) - (8 / 3) + (6 / 3) + 2 + (1 / 3) - (1 / 2)

= 11 + (1 / 3) - (1 / 2)

= 11 + (2 / 6) - (3 / 6)

= 11 - (1 / 6)

= 66 / 6 - 1 / 6

= 65 / 6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 5 - x^2 и y = 3 - x, равна 65 / 6.