Question

составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым шести ее членов : 1/3; 1/2; 3/5; 2/3; 5/7

Answer 1

Ответ:

$a_{n}=\frac{n}{n+2}$

Объяснение:

Проанализируем исходную последовательность:

$\frac{1}{3} ;\: \frac{1}{2} ;\: \frac{3}{5} ;\: \frac{2}{3} ;\: \frac{5}{7} ;\: \frac{3}{4}...$

Преобразуем последовательность следующим образом, - удвоим числитель и знаменатель у дробей на четных местах (значение дроби от этого не изменится):

$\frac{1}{3} ;\: \frac{2}{4} ;\: \frac{3}{5} ;\: \frac{4}{6} ;\: \frac{5}{7} ;\: \frac{6}{8}...$

Мы видим, числитель принимает значения по порядку начиная с 1:

1, 2, 3, 4, 5...

а знаменатель принимает значения так же по порядку, но начиная уже с 3:

3, 4, 5, 6, 7...

т.е. для любого n-го члена последовательности получаем, что это дробь , у которой:

- числитель равен n,

- знаменатель равен (n + 2).

То есть формулу для определения n-го члена последовательности можно предложить следующую:

$a_{n}=\frac{n}{n+2}$

Следует отметить, что для четного n (n = 2m) дробь является сократимой:

$a_{2m}=\frac{2m}{2m+2} = \frac{m}{m + 1}$

что мы и наблюдаем в представленной последовательности.

Answer 2

Для того чтобы найти формулу n-го члена последовательности по её первым членам, давайте рассмотрим отношения между ними и попробуем вывести закономерность.

Последовательность дана:

\[ \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{5}{7} \]

Мы видим, что числитель каждого члена последовательности представляет собой арифметическую последовательность: 1, 1, 3, 2, 5. Это может навести на мысль о том, что это какая-то комбинация арифметической последовательности.

Теперь рассмотрим знаменатель: 3, 2, 5, 3, 7. Тут также видна арифметическая последовательность: 3, 2, 5, 3, 7.

Мы можем предположить, что n-й член последовательности может быть представлен как \(\frac{a_n}{b_n}\), где:

\[ a_n = 1, 1, 3, 2, 5 \] \[ b_n = 3, 2, 5, 3, 7 \]

Теперь попробуем вывести формулы для \(a_n\) и \(b_n\). Видно, что \(a_n\) - это арифметическая последовательность, аналогичная последовательности натуральных чисел, но каждый член умножен на \(2^{n-2}\). Таким образом:

\[ a_n = 2^{n-2} \]

Теперь для \(b_n\), также используя арифметическую последовательность:

\[ b_n = 1 + (-1)^n \]

Теперь мы можем записать формулу для n-го члена последовательности:

\[ S_n = \frac{a_n}{b_n} = \frac{2^{n-2}}{1 + (-1)^n} \]

Это одна из возможных формул для данной последовательности.