Question

Помогите решить биквадратное уравнение х⁴-6х²-27=0

Answer 1

$\displaystyle x^4-6x^2-27=0\\t^2-6t-27=0\\t=-3,t=9\\x^2=-3,x^2=9\\x\notin R, x=-3,x=3\\x_{1}=-3,x_{2}=3$

Answer 2

x⁴-6x²-27=0

t=x²

t²-6t-27=0

D=36+108=144=12²

t_{1}=(6-12)/2=-3

t_{2}=(6+12)/2=9

t=x²

x²=-3 → ∅

x²=9 → x=±3

Ответ: х=±3.

Answer 3

Биквадратное уравнение представляет собой уравнение вида $ax^4+bx^2+c=0$, где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты, а $x$ - переменная. Чтобы решить биквадратное уравнение $x^4-6x^2-27=0$, мы можем использовать замену переменной, чтобы привести его к квадратному уравнению и затем решить его.

Замена переменной:

Пусть $y=x^2$. Тогда наше уравнение примет вид: $y^2-6y-27=0$

Решение квадратного уравнения:

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться квадратным трехчленом или применить формулу дискриминанта.

Формула дискриминанта для квадратного уравнения $ay^2+by+c=0$ имеет вид: $D=b^2-4ac$

В нашем случае $a=1$, $b=-6$ и $c=-27$, поэтому: $D=(-6)^2-4(1)(-27)=36+108=144$

Нахождение корней:

Если дискриминант $D$ положительный, то у нас есть два различных вещественных корня. Если $D=0$, то у нас есть один корень. Если $D<0$, то у нас нет вещественных корней.

В нашем случае $D=144$, что означает, что у нас есть два различных вещественных корня.

Для нахождения корней, мы можем использовать формулу квадратного трехчлена: $y=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$

Подставим значения $a=1$, $b=-6$ и $D=144$: $y=\frac{-(-6)\pm\sqrt{144}}{2(1)}$

Упростим выражение: $y=\frac{6\pm12}{2}=3\pm6$

Таким образом, у нас есть два значения $y$: $y_1=3+6=9$ и $y_2=3-6=-3$.

Возвращение к исходной переменной:

Теперь, когда мы нашли значения $y$, мы можем найти соответствующие значения $x$ с помощью замены переменной $y=x^2$.

Для $y_1=9$: $x^2=9 \Rightarrow x=\pm\sqrt{9}=\pm3$

Для $y_2=-3$: $x^2=-3$

Так как у нас нет вещественных корней для этого случая, биквадратное уравнение $x^4-6x^2-27=0$ имеет только два вещественных корня: $x=3$ и $x=-3$.

Таким образом, решение биквадратного уравнения $x^4-6x^2-27=0$ состоит из двух вещественных корней: $x=3$ и $x=-3$.