Question

Реши тригонометрическое уравнение cos x ⋅ ctg x −(1/√3 )cos x = 0: x = 90° + 180°k , x = 55° + 180°k , где k ∈ Z x = 90° + 180°k, x = 60° + 180°k, где k ∈ Z x = 90° + 180°k, x = 40° + 180°k, где k ∈ Z x = 90° + 180°k, x = 35° + 180°k, где k ∈ Z

Answer 1

Давайте решим данное тригонометрическое уравнение:

\[ \cos(x) \cdot \cot(x) - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cos(x) = 0 \]

Сначала вынесем общий множитель \(\cos(x)\):

\[ \cos(x) \cdot (\cot(x) - \frac{1}{\sqrt{3}}) = 0 \]

Теперь у нас есть произведение двух множителей, и оно равно нулю. Согласно свойствам умножения, произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. \(\cos(x) = 0\)

2. \(\cot(x) - \frac{1}{\sqrt{3}} = 0\)

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. \(\cos(x) = 0\)

Когда \(\cos(x) = 0\), это происходит при углах \(x = 90^\circ + 180^\circ k\), где \(k\) - целое число.

2. \(\cot(x) - \frac{1}{\sqrt{3}} = 0\)

Перепишем уравнение, выражая \(\cot(x)\):

\[ \cot(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Так как \(\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\), мы можем записать:

\[ \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Умножим обе стороны на \(\sin(x)\):

\[ \cos(x) = \frac{\sin(x)}{\sqrt{3}} \]

Теперь используем тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\[ 1 = \sin^2(x) + \left(\frac{\sin(x)}{\sqrt{3}}\right)^2 \]

Упростим:

\[ 1 = \sin^2(x) + \frac{1}{3}\sin^2(x) \]

\[ 1 = \frac{4}{3}\sin^2(x) \]

\[ \sin^2(x) = \frac{3}{4} \]

\[ \sin(x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, \(\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) при \(x = 60^\circ + 180^\circ k\) и \(\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) при \(x = 300^\circ + 180^\circ k\), где \(k\) - целое число.

Итак, у нас есть несколько решений:

1. \(x = 90^\circ + 180^\circ k\), где \(k\) - целое число. 2. \(x = 60^\circ + 180^\circ k\), где \(k\) - целое число. 3. \(x = 300^\circ + 180^\circ k\), где \(k\) - целое число.