Question

Помогите, пожалуйста, найти: а) Область определения функцииб) Область значения функции в) Нули функцииг) Ось симметриид) Наименьшее и наибольшее значение функциие) Возрастание и выбывание функцииж) Вершины ПараболыПри: y=x²+4x+2​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

нрнрррроооо

Answer 2

Давайте разберемся с каждым из пунктов:

а) Область определения функции:

Функция \( y = x^2 + 4x + 2 \) определена для любого значения \( x \), так как квадратный корень извлекается из любого вещественного числа, и деление на ненулевое число допустимо. Таким образом, область определения функции - это множество всех вещественных чисел, обозначается как \( \mathbb{R} \).

б) Область значений функции:

Функция \( y = x^2 + 4x + 2 \) является параболой, направленной вверх, и её значение будет всегда больше или равно значению вершины параболы. Таким образом, минимальное значение функции будет значение вершины параболы. Область значений функции - все значения \( y \), большие или равные значению вершины параболы.

в) Нули функции:

Чтобы найти нули функции, решим уравнение \( x^2 + 4x + 2 = 0 \). Можно воспользоваться квадратным уравнением или методом факторизации. Решение уравнения даст нам значения \( x \), при которых функция обращается в ноль.

\( x^2 + 4x + 2 = 0 \) не факторизуется просто, поэтому воспользуемся формулой для квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a \), \( b \) и \( c \) - коэффициенты уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \).

В данном случае \( a = 1, b = 4, c = 2 \).

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} \]

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} \]

\[ x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]

\[ x = -2 \pm \sqrt{2} \]

Таким образом, нули функции: \( x = -2 + \sqrt{2} \) и \( x = -2 - \sqrt{2} \).

г) Ось симметрии:

Ось симметрии для параболы \( y = ax^2 + bx + c \) находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \). В данном случае ось симметрии будет \( x = -\frac{4}{2(1)} = -2 \).

д) Наименьшее и наибольшее значение функции:

Так как у функции \( y = x^2 + 4x + 2 \) параболическая форма и открывается вверх, то её наименьшее значение будет равно значению вершины параболы. Значит, минимальное значение равно \( y = -2 \) (значение вершины).

Функция не имеет наибольшего значения, так как парабола стремится к бесконечности.

е) Возрастание и убывание функции:

Для анализа возрастания и убывания функции найдем производную функции и выясним знаки производной на различных интервалах.

\[ y = x^2 + 4x + 2 \]

\[ y' = 2x + 4 \]

Производная равна нулю при \( x = -2 \). Знак производной меняется с отрицательного на положительный при \( x < -2 \), что означает, что функция убывает на интервале \((-\infty, -2)\), и меняется с положительного на отрицательный при \( x > -2 \), что означает, что функция возрастает на интервале \((-2, +\infty)\).

ж) Вершины параболы:

Вершина параболы \( y = ax^2 + bx + c \) находится в точке \((-b/2a, f(-b/2a))\). В данном случае вершина будет в точке \((-2, -2)\).

Итак, подводя итог, для функции \( y = x^2 + 4x + 2 \):

а) Область определения: \( \mathbb{R} \) (все вещественные числа).

б) Область значений: \( y \geq -2 \) (все значения, большие или равные значению вершины).

в) Нули функции: \( x = -2 + \sqrt{2} \) и \( x = -2 - \sqrt{2} \).

г) Ось симметрии: \( x = -2 \).

д) Наименьшее значение: -2.

е) Возрастание и убывание: Убывает на интервале \((-\infty, -2)\), возрастает на интервале \((-2, +\infty)\).

ж) Вершина параболы: \((-2, -2)\).

Answer 3

Давайте разберемся с каждым из пунктов по порядку для функции \( y = x^2 + 4x + 2 \):

а) Область определения функции: Область определения функции - это множество всех допустимых значений независимой переменной \( x \). Для квадратичных функций такого вида область определения является множеством всех действительных чисел. Таким образом, область определения этой функции - все вещественные числа.

б) Область значений функции: Область значений функции - это множество всех возможных значений зависимой переменной \( y \). Для квадратичной функции \( y = x^2 + 4x + 2 \) значение \( y \) может быть любым действительным числом. Область значений - все действительные числа.

в) Нули функции: Нули функции - это значения \( x \), при которых функция равна нулю. Для нахождения нулей функции \( y = x^2 + 4x + 2 \), нужно решить уравнение \( x^2 + 4x + 2 = 0 \). Можно воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы найти корни этого уравнения.

Дискриминант \( D \) для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле \( D = b^2 - 4ac \).

В данном случае: \[ a = 1, \ b = 4, \ c = 2 \] \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 \]

Дискриминант положителен, что значит, что у уравнения два действительных корня. Корни можно найти с использованием формулы квадратного корня: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, нули функции - \( x = -2 + \sqrt{2} \) и \( x = -2 - \sqrt{2} \).

г) Ось симметрии: Ось симметрии для квадратичной функции вида \( y = ax^2 + bx + c \) проходит через вершину параболы. Ось симметрии можно найти по формуле \( x = \frac{-b}{2a} \). В данном случае, ось симметрии равна \( x = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2 \).

д) Наименьшее и наибольшее значение функции: Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен, функция открывается вверх, и ее значение в вершине будет минимальным. Минимальное значение можно найти, подставив \( x = -2 \) в уравнение функции: \[ y_{\text{мин}} = (-2)^2 + 4(-2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2 \]

Таким образом, наименьшее значение функции равно -2. Функция не имеет наибольшего значения, так как она стремится к бесконечности при увеличении \( x \) в положительную сторону.

е) Возрастание и убывание функции: Функция возрастает, если производная положительна, и убывает, если производная отрицательна. Давайте найдем производную функции: \[ y' = 2x + 4 \]

Производная равна 0 при \( x = -2 \), что соответствует вершине параболы. Знак производной меняется с отрицательного на положительный при \( x < -2 \), поэтому функция убывает до \( x = -2 \) и возрастает после \( x = -2 \).

ж) Вершина параболы: Координаты вершины параболы можно найти, используя формулу \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \). В данном случае: \[ x_{\text{вершины}} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \] \[ y_{\text{вершины}} = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 2 = -2 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке (-2, -2).