Question

Y=-x2+2x+8. [10] а) Определите направление ветвей параболы;б) запишите координаты вершины параболы;в) запишите ось симметрии параболы;г) найдите точки пересечения графика с осями координат;д) постройте график функции;е) запишите область определения функции;ж) запишите множество значений функции;з) запишите промежутки монотонности (возрастание, убывание) функции;и) запишите промежутки знакопостоянства функции (при каких значениях x y≥0, y≤0);к) запишите наибольшее и наименьшее значения функции.​

Answer 1

Ответ:

а)ветви направлены в вниз так как а=-1. ;а<0

б)вершина параболы находиться ПО формуле х0=-b/2a=>-2/2•-1=1

в)а=-1;b=2. формула х=-b/2a=>-2/2•(-1)=1

г)у=-х²+2х+8

1)точки пересечения с осью координат найдем из условий х=0 =>у(0)=0+2•0+8=0 И точка (0;6)

2) пересечение с осью абсцисс-это у=0

-х²+2х+8=0 =>так как квадратное решим с дискрименантами D=b²-4ac=2²-4•-1•8=36=6² из этого найдем х1и х2=>х1=-b+√D/2a=-2+6/2•-1=-2 ; x2=-b-√D/2a=-2-6/2•-1=4. (-2;4)

e)-х²+2х+8≠0

х≠-2 ;х≠4. D(y)=(-∞;-2)u(-2;4)u(4;+∞)

ж)E(f)={11;+∞)

Answer 2

Давайте по порядку решим каждую из задач:

а) Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента при x^2, который в данном случае равен -1. Значит, ветви параболы направлены вниз.

б) Координаты вершины параболы можно найти, используя формулу x = -b/2a, где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно. В данном случае a = -1, b = 2:

x = -2 / (2 * (-1)) = 1.

Теперь найдем значение y в вершине, подставив x = 1 в уравнение:

y = -(1^2) + 2*1 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9.

Таким образом, координаты вершины параболы - (1, 9).

в) Ось симметрии параболы проходит через вершину и параллельна одной из координатных осей. В данном случае, ось симметрии вертикальная и проходит через точку (1, 0).

г) Чтобы найти точки пересечения графика с осями координат, нужно подставить x = 0 и y = 0 в уравнение:

Для оси x (y = 0): 0 = -x^2 + 2x + 8.

Решим это уравнение:

x^2 - 2x - 8 = 0.

Факторизуем его: (x - 4)(x + 2) = 0.

Отсюда получаем две точки пересечения с осью x: x = 4 и x = -2.

Для оси y (x = 0): y = -(0^2) + 2*0 + 8 = 8.

Таким образом, точки пересечения графика с осями координат: (4, 0), (-2, 0) и (0, 8).

д) Построим график функции:

е) Область определения функции - это множество всех допустимых значений x. В данном случае функция определена для всех действительных чисел, так как ограничений на x нет.

ж) Множество значений функции - это множество всех возможных значений y. Из графика видно, что функция принимает любые значения, меньшие или равные 8. Таким образом, множество значений функции: y ≤ 8.

з) Промежутки монотонности функции можно определить, анализируя знак её производной. Производная функции y' = -2x + 2. Эта функция является линейной, и её знак зависит от значения x. Если x > 1, то производная положительна (функция возрастает), если x < 1, то производная отрицательна (функция убывает).

и) Промежутки знакопостоянства функции (когда y ≥ 0 и y ≤ 0) зависят от значения функции. По графику видно, что функция y ≥ 0 в интервалах (-бесконечность, -2) и (4, +бесконечность), а y ≤ 0 в интервале (-2, 4).

к) Наибольшее значение функции - это максимальное значение y на графике, которое равно 9 (на вершине параболы). Наименьшее значение функции не ограничено снизу, так как парабола направлена вниз и уходит в бесконечность.