Question

Доведіть що при а>0 і в>0 справджуються нерівність (а+в)(а⁴+в⁴)≥(а²+в²)(а³+в³).

Answer 1

Ответ:

О(а+в) спрлводжует

тьсябъяснение:

Answer 2

Ответ:

советую юзать чат GPT нормас тема

Объяснение:

Для доведення даної нерівності ми можемо використати алгебраїчні перетворення.

Для спрощення обчислень замінимо a² на x і v² на y. Тоді наша нерівність виглядає так:

(x + y)(x² + y²) ≥ (x + y)(xy(x + y)).

Тепер ми можемо спростити обидві сторони нерівності, розділивши обидві сторони на (x + y), оскільки a і v обидва є додатними числами (a > 0 і v > 0), і, отже, x + y не може дорівнювати нулю:

(x + y)(x² + y²) / (x + y) ≥ (x + y)(xy(x + y)) / (x + y).

Тепер спростимо ліву і праву сторони окремо:

x² + y² ≥ xy(x + y).

Далі розкриємо дужки у правій стороні:

x² + y² ≥ xy² + x²y.

Тепер віднімемо x² і y² від обох сторін нерівності:

0 ≥ xy² - x²y.

Тепер ми можемо факторизувати обидві сторони за допомогою виразу xy:

0 ≥ xy(y - x).

Так як a і v - додатні числа, то x і y також є додатними. Таким чином, ми можемо поділити обидві сторони на xy без зміни напрямку нерівності:

0 ≥ y - x.

Тепер ми можемо переписати цю нерівність знову замінюючи x і y на a² і v²:

0 ≥ v² - a².

Таким чином, ми показали, що при a > 0 і v > 0 виконується нерівність:

(a + v)(a⁴ + v⁴) ≥ (a² + v²)(a³ + v³).

Answer 3

Для доведення нерівності (а в)(а⁴ + в⁴) ≥ (а² + в²)(а³ + в³), спочатку розкриємо дужки в лівій частині нерівності:

(а в)(а⁴ + в⁴) = а⁵в + в⁵а

Тепер розкриємо дужки в правій частині нерівності:

(а² + в²)(а³ + в³) = а⁵ + а³в² + а²в³ + в⁵

Тепер порівняємо обидві частини нерівності:

а⁵в + в⁵а ≥ а⁵ + а³в² + а²в³ + в⁵

Після спрощення виявляється, що нам потрібно довести нерівність а³в² + а²в³ ≥ 0.

Для цього скористаємося фактом, що а та в - додатні числа (а > 0, в > 0). Тоді обидва доданки а³в² та а²в³ також будуть додатніми числами, оскільки додатне число, піднесене до будь-якого степеня, залишається додатнім. Таким чином, сума додатніх чисел завжди буде додатною, тобто а³в² + а²в³ ≥ 0.

Отже, ми довели, що нерівність (а в)(а⁴ + в⁴) ≥ (а² + в²)(а³ + в³) справджується для а > 0 і в > 0.