Question

Асия собрала цветы: 9 ромашек и 12 незабудок. Сколькими способами можно составить букет из 8 цыетов, если: а) в букете 6 ромашек и 4 незабудки; б) в букете как минимум должны быть 3 незабудки (НАПИШИТЕ ЧТОБЫ БЫЛО ПОНЯТНО)​

Answer 1

Ответ:

а) 5544 способами

б) 183645 способами

Объяснение:

В условии "а) в букете 6 ромашек и 4 незабудки", то есть  6+4=10 цветов, но в букете должно быть 8 цветов. Поэтому изменим условие а) а:

"а) в букете 6 ромашек и 2 незабудки".

Решение. Количество способов выбрать набора называется числом сочетаний из n элементов по k. Применим формулу сочетания комбинаторики:

$\tt C^k_n=\dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}.$

а) Так как для ромашек n=9 и k=6, то выбрать 6 ромашки можно

$\tt C^6_9=\dfrac{9!}{6! \cdot (9-6)!}=\dfrac{9!}{6! \cdot 3!}=\dfrac{7 \cdot 8 \cdot 9}{3!}=\dfrac{7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3}=7 \cdot 4 \cdot 3=84$

способами, а для незабудок n=12 и k=2, то выбрать 2 незабудки можно

$\tt C^2_{12}=\dfrac{12!}{2! \cdot (12-2)!}=\dfrac{12!}{2! \cdot 10!}=\dfrac{11 \cdot 12}{2!}=\dfrac{11 \cdot 12}{1 \cdot 2}=11 \cdot 6=66$

способами. По правилу произведения, составить букет из 8 цветов, в котором 6 ромашек и 2 незабудки можно

84·66 = 5544 способами.

б) В букете как минимум должны быть 3 незабудки означает, что в букете 3 незабудки+5 ромашки или 4 незабудки+4 ромашки или 5 незабудки+3 ромашки или 6 незабудки+2 ромашки или 7 незабудки+1 ромашки или 8 незабудки+0 ромашки.

Каждый случай рассмотрим отдельно:

1) 3 незабудки+5 ромашки можно выбрать

$\tt C^3_{12} \cdot C^5_9=\dfrac{12!}{3! \cdot (12-3)!} \cdot \dfrac{9!}{5! \cdot (9-5)!}=\dfrac{12!}{3! \cdot 9!} \cdot \dfrac{9!}{5! \cdot 4!}=\\\\=\dfrac{10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \dfrac{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}=\dfrac{10 \cdot 11 \cdot 2}{1} \cdot \dfrac{1 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 9}{1}=110 \cdot 126=13860$

способами.

2) 4 незабудки+4 ромашки можно выбрать

$\tt C^4_{12} \cdot C^4_9=\dfrac{12!}{4! \cdot (12-4)!} \cdot \dfrac{9!}{4! \cdot (9-4)!}=\dfrac{12!}{4! \cdot 8!} \cdot \dfrac{9!}{4! \cdot 5!}=\\\\=\dfrac{9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdot \dfrac{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}=\dfrac{9 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 1}{1} \cdot \dfrac{1 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 9}{1} = 495 \cdot 126=62370$

способами.

3) 5 незабудки+3 ромашки можно выбрать

$\tt C^5_{12} \cdot C^3_9=\dfrac{12!}{5! \cdot (12-5)!} \cdot \dfrac{9!}{3! \cdot (9-3)!}=\dfrac{12!}{5! \cdot 7!} \cdot \dfrac{9!}{3! \cdot 6!}=\\\\=\dfrac{8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} \cdot \dfrac{7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3}=\dfrac{8 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 11 \cdot 1}{1} \cdot \dfrac{7 \cdot 4 \cdot 3}{1}=792 \cdot 84=66528$

способами.

4) 6 незабудки+2 ромашки можно выбрать

$\tt C^6_{12} \cdot C^2_9=\dfrac{12!}{6! \cdot (12-6)!} \cdot \dfrac{9!}{2! \cdot (9-2)!}=\dfrac{12!}{6! \cdot 6!} \cdot \dfrac{9!}{2! \cdot 7!}=\\\\=\dfrac{7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} \cdot \dfrac{8 \cdot 9}{1 \cdot 2}=\dfrac{7 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 11 \cdot 12}{1} \cdot \dfrac{4 \cdot 9}{1}=924 \cdot 36=33264$

способами.

5) 7 незабудки+1 ромашка можно выбрать

$\tt C^7_{12} \cdot C^1_9=\dfrac{12!}{7! \cdot (12-7)!} \cdot \dfrac{9!}{1! \cdot (9-1)!}=\dfrac{12!}{7! \cdot 5!} \cdot \dfrac{9!}{8!}=\\\\=\dfrac{8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} \cdot \dfrac{9}{1}=\dfrac{8 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 11 \cdot 1}{1} \cdot 9=792 \cdot 9=7128$

способами.

6) Наконец, только 8 незабудки можно выбрать

$\tt C^8_{12}=\dfrac{12!}{8! \cdot (12-8)!}=\dfrac{12!}{8! \cdot 4!}=\dfrac{9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}=\dfrac{9 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 1}{1}=45 \cdot 11=495$

способами.

По правилу сложения, составить букет из 8 цветов, в котором как минимум должны быть 3 незабудки можно

13860+62370+66528+33264+7128+495=183645.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать комбинаторику и принципы сочетаний и перестановок.

а) В букете должно быть 6 ромашек и 4 незабудки. Мы можем выбрать 6 ромашек из 9 доступных и 4 незабудки из 12 доступных. Это сочетание, и мы можем вычислить его с помощью формулы сочетаний:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Где n - общее количество элементов, k - количество элементов, которые мы выбираем.

В данном случае, n = 9 (количество ромашек) и k = 6 (количество ромашек в букете). Подставляя значения в формулу, получаем:

C(9, 6) = 9! / (6! * (9-6)!) = 84

Таким образом, можно составить букет из 8 цветов, содержащий 6 ромашек и 4 незабудки, 84 различными способами.

б) В букете должно быть как минимум 3 незабудки. Это означает, что мы можем выбрать 3, 4, 5, 6, 7 или 8 незабудок. Для каждого случая, мы можем выбрать оставшиеся цветы из оставшихся доступных цветов.

- Если выбрано 3 незабудки, то остается 5 доступных цветов (6 ромашек и 5 незабудок). Мы можем выбрать 5 цветов из 11 доступных (5 ромашек и 6 незабудок). Это также сочетание:

C(11, 5) = 11! / (5! * (11-5)!) = 462

- Если выбрано 4 незабудки, то остается 4 доступных цвета (6 ромашек и 4 незабудки). Мы можем выбрать 4 цвета из 10 доступных (4 ромашки и 6 незабудок). Это также сочетание:

C(10, 4) = 10! / (4! * (10-4)!) = 210

- Если выбрано 5 незабудок, то остается 3 доступных цвета (6 ромашек и 3 незабудки). Мы можем выбрать 3 цвета из 9 доступных (3 ромашки и 6 незабудок). Это также сочетание:

C(9, 3) = 9! / (3! * (9-3)!) = 84

- Если выбрано 6 незабудок, то остается 2 доступных цвета (6 ромашек и 2 незабудки). Мы можем выбрать 2 цвета из 8 доступных (2 ромашки и 6 незабудок). Это также сочетание:

C(8, 2) = 8! / (2! * (8-2)!) = 28

- Если выбрано 7 незабудок, то остается 1 доступный цвет (6 ромашек и 1 незабудка). Мы можем выбрать 1 цвет из 7 доступных (1 ромашка и 6 незабудок). Это также сочетание:

C(7, 1) = 7! / (1! * (7-1)!) = 7

- Если выбрано 8 незабудок, то остается 0 доступных цветов (6 ромашек и 0 незабудок). В этом случае, мы можем выбрать только 0 цветов.

Суммируя все возможности, получаем:

462 + 210 + 84 + 28 + 7 + 1 + 1 = 793

Таким образом, можно составить букет из 8 цветов, содержащий как минимум 3 незабудки, 793 различными способами.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.