Question

㏒₂(x²+3x)≥2 50 балов обьяснение

Answer 1

Давайте рассмотрим ваш математический вопрос. У вас есть неравенство вида:

\[ \log_2(x^2 + 3x) \geq 52. \]

Для решения этого неравенства, начнем с преобразования его в эквивалентное выражение без логарифма:

\[ x^2 + 3x \geq 2^{52}. \]

Теперь, чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие этому неравенству, давайте приведем его к квадратному виду:

\[ x^2 + 3x - 2^{52} \geq 0. \]

Теперь, для решения этого квадратного неравенства, мы можем воспользоваться методом знаков. Первым шагом находим корни квадратного уравнения \(x^2 + 3x - 2^{52} = 0\). Решение этого уравнения даст нам точки, где функция меняет знак.

Используем формулу дискриминанта для нахождения корней:

\[ D = b^2 - 4ac, \]

где \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -2^{52}\). Тогда

\[ D = 3^2 - 4(1)(-2^{52}) = 9 + 4 \cdot 2^{52}. \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]

Теперь, мы знаем, что квадратное уравнение имеет два корня, и они могут разделить область числовой прямой на три интервала. Теперь мы можем использовать метод знаков, чтобы определить, на каких интервалах неравенство \(x^2 + 3x - 2^{52} \geq 0\) выполняется.

1. Рассмотрим интервал \((- \infty, x_1)\). Выбираем точку в этом интервале, например, \(x = 0\). Подставим \(x = 0\) в \(x^2 + 3x - 2^{52}\), и проверим знак. Если получится положительное число, то весь интервал подходит.

2. Рассмотрим интервал \((x_1, x_2)\). Выбираем точку в этом интервале, например, \(x = \frac{x_1 + x_2}{2}\). Подставим эту точку и проверим знак.

3. Рассмотрим интервал \((x_2, +\infty)\). Выбираем точку в этом интервале, например, \(x = x_2 + 1\). Подставим эту точку и проверим знак.

Таким образом, определится, на каких интервалах выполняется неравенство \(x^2 + 3x - 2^{52} \geq 0\). Остается проверить, какие значения \(x\) удовлетворяют исходному неравенству \(\log_2(x^2 + 3x) \geq 52\).

Мы можем использовать знаки выражения \(x^2 + 3x\) на найденных интервалах для определения знака логарифма.

Таким образом, получив интервалы, на которых выполняется исходное неравенство, можно сделать вывод о значениях \(x\), которые удовлетворяют условиям задачи.